Гармония золотых пропорций 5 страница

Однако не исключено, что на рисунке 15 изображены две плоскости, на которых проведены лучи от l и l ´, пересекающиеся в точке S. При этом лучи плоскости, на которой находится прямая l, покрывают часть лучей плоскости, на которой находится прямая l ´, что отмечено на рис. 63, затемнением плоскости АSД. Схема, полученная на рис. 63, с опорой на евклидову геометрию, обусловила появление искажения при замене прямых точками нарис. 64. Рисунок исполнен в данной работе уже с учетом того, что на рис. 63 изображено пересечение плоскостей в точке S, и лучи, находящиеся под верхней плоскостью выполнены штрихованными (в работе [27]они не штрихованы). На этом рисунке видно, что прямая S является следом пересечения плоскостей, на которых находятся точки L и L ´.

От этих точек нет логического перехода к прямой s и потому «гармонические» отрезки на прямой S получены случайным образом, а не перенесены с рис. 63 и потому не могут считаться гармоническими. Наличие гармонических отрезков на рис. 63 и должно являться ее существенным признаком. Отсутствие четырех гармонических точек прямой s свидетельствует о том, что фигура на рис. 64 не является отображением фигуры рис. 63. Да и обозначения точек на ней просто перенесены с прямой l рис. 63, тогда как должно быть: А _о, В _о, С _о, Д _о. Таким образом, проведенная операция замены прямых точками и наоборот не может считаться корректной и скорее представляет не замену прямых точками, а точек прямыми, а выполненный с искажением поворот элементов фигуры рис.63 на некоторый угол. При этом прямая s нанесена на плоскость под некоторым углом, прямые l и l ´ входят в эту плоскость под прямым углом, а лучи а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´ …,только выглядят входящими в точки L и L ´, оставаясь гармоническими на видимых с торца прямых l и l ´.

Отметим еще раз, что на каждом из рисунков 63 и 64 изображены, как минимум, два вида фигур. За каждым лучом, исходящим из некоторой точки на прямой, может располагаться другой луч и, возможно, не один, который может проявить себя, когда прямая превращается в точку и наоборот. Поэтому в опорной точке S (рис. 63) могут сходиться четыре пространственных луча, разделяющие базисные прямые l и l ´ на гармонические отрезки. Прямые l и l´ не просто прямые, а прямые базисные и отображают они гармонические точки базисной плоскости, плоскости – все точки которой несобственные. И лучи-прямые, «исходящие» из точки опоры S, не пересекают их, а только отмечают те места базисной плоскости, которых они касаются. И, следовательно, на рисунке 63 отображен перенос базисной прямой l в прямую l´. Другой вариант, в соответствии со статической геометрией, в точке S пересекаются две поверхности, на которых расположены прямые l и l ´, от которых к точке пересечения сходятся по две пары лучей. И чтобы заменить евклидову точку на прямую, достаточно предположить, что прямая на рис. 63 «входит» в плоскость. «Поворот» плоскости на некоторый угол выявит наличие этой прямой.

В статико-динамической геометрии опорную точку Дезарга превратить в прямую невозможно. Это не фигура статической геометрии. Большинство точек Дезарга образуются в визуально видимом конусе лучей, сходящихся в точку под «острым» углом. Никакие повороты плоскости не отобразятся на плотностных точках Дезарга, они только «перемещают» эти точки на иной градус относительно плоскости. Но точка Дезарга может быть представлена в виде множества точек расположенных на несобственной плоскости и образующих базисную прямую. И на эту базисную прямую, по принципу двойственности, можно перенести гармоническое пропорционирование четырех точек с любой прямой, например, с l или l ´. Следовательно, прямые l и l ´ на рис. 63 оказываются не евклидовыми, а базисными прямыми. При замене их точками они превращаются в базисные точки опоры L и L ´.

Отметим, что в соответствии со статико-динамической геометрией, точка S на рис. 63 является опорной точкой, а прямые l и l ´ базисными прямыми пропорционированными четверкой гармонических точек. На этом рисунке,аналогичномрис. 56,отображена деформация расстояний между гармоническими точками, обусловленная удалением базисной прямой от точки опоры S. Естественно, что с начального состояния l в мгновенном процессе этого перемещения происходило бесчисленное количество «рывков» и «остановов» прежде чем было достигнуто положение l ´. Ведь это мы, по своему усмотрению, проявили здесь первый и последний кадры прошедших деформаций. И в этих кадрах незримо, не проявлено в движущемся отображении, присутствуют как элементы фигурной системы: и окружность, и трапеция, и касательные и поляра, вне зависимости от того изображены ли они на рис.63 или нет.

Теперь имея первоначальный вариант фигуры рис. 63 можно заменить точку опоры S множеством опорных точек образующих прямую s на несобственной плоскости (рис. 65.). Прямая s становится новой базисной прямой, на которую и следует перенести с прямой l либо l ´ гармоническую четверку точек. Для проведения этой операции необходимо в любой удобной точке пространства выбрать вспомогательную точку опоры S ₁ (поскольку все пространство образовано несобственными точками) и от нее через точки А, В, С, Д или А ´, В ´, С ´, Д ´ провести лучи до пересечения с базисной прямой s (показано штрихами). Получаем на базисной прямой s новый ряд гармонических точек А _о, В _о, С_о, Д _о (рис. 65). Заменяем базисные прямые l и l ´ на опорные точки L и L ´ расположенные напротив своих прямых (правильнее – расположенных на своих виртуальных прямых, поскольку прямые заменены точками в тех районах, по которым они проходили) и соединяем их лучами с точками А _о, В _о, С _о, Д _о. Построение закончено. Два точечных ряда А ´, В ´, С ´, Д ´ и А _о, В _о, С_о, Д _о приведены в соответствие пучкам прямых точек L и L ´.

Образовавшаяся сдвоенная фигура (две наклонных проективных пирамиды) оказывается подобной двум кадрам пирамиды Дезарг (вертикальной и наклонной), отображенной на (рис. 59), только изображена она под базисной прямой. А это, по-видимому, означает, что данная фигура представлена двумя кадрами, изображающими состояние проективной пирамиды в различные промежутки времени. При этом кадр с вершиной L предшествует кадру с вершины L´, перемещались эти вершины по определенной траектории в пространстве под базисной плоскостью. А их основание не подвергалось перемещению. Простейшей траекторией движения вершины L может оказаться прямая соединяющая LL´.

И в то же время, если рассматривать полученную фигуру с позиций классической геометрии, на рисунке 65 изображен поворот двух пересекающихся по линии А _о Д _о плоскостей с расположенными на них точками LL ´ и лучами а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´ ….И образованная фигура как будто бы повторяет фигуру изображенную на рис. 64, но смысл их различен. Точка на рис. 64, являясь евклидовой прямой, видимой с торца, и все лучи от базисной прямой

попадают на эту прямую в разных местах ее. Точки же на рис. 65 являются несобственными точками и в них сходятся все «приходящие» к ним лучи. Похоже, что операция замены точек прямыми, а прямых точками, сопровождаемая изменением качества элементов образующих фигуру и сохранением одного из ее важных признаков, возможна только в статико-динамической геометрии.

Рассмотрим в соответствии с [27],способ нахождения перспективы переводом одного ряда в другой:

«Итак, возьмем прямую р и на ней точки А, В, С и Д. Измерим длины отрезков АС, СВ, АД, и ДВ. Подсчитаем сложное отношение (АВ; СД). Полученное число обозначим q. Итак,

(АВ; СД) = (|АС |.⁄|СВ|) ⁄(|АД| ⁄|ДВ| = q.

Возьмем другую прямую р´ и на ней три точки А´, В´, С´ (рис. 66) Проведем прямую через точки А и А´ и на этой прямой выберем произвольные точки S₁ и S₂, которые объявим центрами искомых перспектив. Проведем прямые S₁В и S₂В´ и точку их пересечения обозначим В_о. Затем проведем прямые S₁С и S₂С´. Они пересекутся в точке С_о. Точки С_оВ_о определяют прямую u, ее мы назовем осью перспективы. Если теперь провести прямую S₁Д, то ее пересечение с осью перспективы даст точку. Д_о, причем ясно, что по свойству перспективы (А_оВ_о; С_оД_о) = q. Соединим теперь точку Д_о с точкой S₂. На прямой р´ появилась точка Д´. Сложные отношения (А´В´; С´Д´) и (А_оВ_о; С_оД_о) равны. Следовательно равны и сложные отношения (АВ; СД) и (А´В´; С´Д´) (транзитивность!). Дальше построение можно было вести так: на прямой р взять пятую точку Е и, проведя S₁Е, отметив Е_о, соединив Е_о с S₂, получить пятую точку Е´ на прямой р´. Очевидно, (АВ; СЕ) = (А_оВ_о; С_оЕ_о) = (А´В´; С´Е´). Продолжая в том же духе, мы получим один проективный ряд из другого двумя перспективами».

(Примем во внимание, что установить проективное соответствие можно было бы и по трем парам гармонических точек. Двух пар для этого недостаточно.)

Полученная фигура (рис. 66) представляет собой вид сверху и потому кажется выполненной на плоскости. Однако наличие двух опорных точек S ₁и S ₂, разнесенных по разные стороны базисных прямых, свидетельствует о том, что фигура образована в простран-стве, а прямые р и р ´ и точки А, В, … и А ´, В ´, … и т.д. на них, соединенные лучами с опорными точками, оказываются расположенными на разных плоскостях. Об этом же свидетельствует прямая, соединяющая опорные точки. А поскольку эта прямая проходит также через точки А и А ´ то они лежат на одной плоскости с опорными точками и плоскость эта пересекает все три прямые.

Появляется две возможности: одна – определить конфигурацию образованную тремя прямыми, а уже потом заменять прямые и точки, другая – сразу начать замену прямых точками, а точек прямыми. Поскольку нас интересует только замена, проведем один из ее возможных вариантов (рис. 67). Сначала заменим опорные точки базисными прямыми s ₁ и s ₂ любого направления удобного для перенесения на них сложного отношения четырех точек. Затем заменим одну из прямых опорной точкой, например, Р и проведем от нее лучи (показано штрихами) через точки либо прямой u, либо прямой р´ (оставлены точки без индексации) до пересечения с прямой s ₂ в точках А ₁, В ₁, С ₁,

Д ₁. После этого можно заменить оставшиеся прямые u, и р´ точками U и Р ´. Затем из точек А ₁, В ₁, С ₁, Д ₁ прямой s₂ через, например, точку U проведем лучи до пересечения с прямой s₁. Образовавшиеся на прямой s₁ точки А ₂, В ₂, С₂, Д₂ и составят четверку гармонических точек. Далее повторим аналогичную процедуру с точкой Р ´, проведя через нее лучи либо с точек А ₁, В ₁, С ₁, Д ₁ А ₁ прямой s₂, либо с точек А ₂, В ₂, С₂, Д₂ прямой s₁ (последняя операция не отображена на рисунке 67). Построение закончено. Посредством замены точек прямыми и прямых точками два проективных ряда получены двумя перспективами

4.5. Гармоническое пространственное

пропорционирование

Гармоническим пропорционирование можно назвать такое пропорционирование, которое обусловливает параметрам любого проектируемого объекта совокупную соразмерность с параметрами Земли. (Совокупная соразмерность – взаимосвязанная соразмерность по высоте, ширине и длине.) На первый взгляд кажется, что предъявляемое требование к пропорционированию объекта, по меньшей мере, завышено, ибо размеры каждого объекта несоизмеримы с размерами Земли. И данное требование невыполнимо. Но это по первому взгляду.

Отметим: система соизмерительных инструментов, обеспечивающая пропорционирование параметрам Земли любых возводимых объектов использовалась на Древней Руси и у многих других древних народов. Она представляла собой комплекс соизмерительных инструментов – саженей и на сегодня утрачена. В частности на Руси существовал «Всемер» из пятнадцати саженей переоткрытый А. Пилецким (см.приложение 2). Методика очертания объектов по данным саженям полностью утеряна и только начинает воспроизводиться. Главное в ней то, что сажени не измерительные, а соизмерительные инструменты, и все они между собой пропорциональны золотому числу Ф. Поэтому сооружение, проектируемое по комплексу саженей, изначально закладывались в золотых пропорциях, а разметка объемов производилась так, что высота разбивалась саженью одного размера, ширина – сажень другого размера, а длина – третьего размера. В результате строительство каждого объекта велось в гармоничных золотых пропорциях, т.е. в тех параметрах, которые пропорционированы параметрам Земли.

В данной работе не будем останавливаться на методах гармонического проектирования и строительства, кое-что об этом можно найти в [23], здесь же качественно познакомимся с некоторыми проективными способами проведения пропорционирования фигур на плоскости и в пространстве. При этом надо помнить, что исходным пунктом всякого гармоничного пропорционирования является использование золотых пропорций. Гармоничное пропорционирование это всегда пропорционирование на основе золотых пропорций. В проекте строительства объекта высота, ширина и длина должны быть выполнены пропорционально золотому числу или золотым числам, т.е. в соответствии с методом проектирования на основе древнерусских саженей.

Остановимся на возможности гармонизации фигур в статико-динамической геометрии. Еще раз отметим, что в проективной полудинамической геометрии фигуры пропорционированы изначально как системы, способные кадрировано деформироваться в процессе перемещения в пространстве. И хотя все деформации будут постоянно происходить пропорционированно, и каждый кадр изменения фигуры, например, четырех точек, в движении называют гармоничным, это не всегда соответствует действительности. Гармоничное пропорционирование деформации элементов каждого кадра фигуры происходит только тогда, когда высота и ширина (для плоскости), и длина (для объема) исходной фигуры проектировались по соизмерительным инструментам, содержащим золотые числа. Все другие пропорции не приводят к получению гармоничного отношения. Поскольку объемное пропорционирование по золотым пропорциям еще не устоялось и не применяется в проективной и начертательной геометрии, разберем несколько примеров пропорционирования фигур на плоскости.

Основная задача статико-динамической геометрии – нахождение элементов фигур, пропорционированных в золотых числах, и обеспечение возможности перенесения этих пропорций на любой элемент внешней фигуры. Выше показаны два способа проведения гармонического пропорционирования как отрезка АВ, так и базисной прямой точками N и М: методом пирамиды Дезарга и методом параллельных Евклида. Оба способа дают аналогичные результаты и отличаются лишь трудоемкостью их исполнения. Оба способа начинаются с выбора отрезка АВ и деления его в произвольном отношении точкой N – следом поляры. И только две точки на этом отрезке могут обусловить появление золотых пропорций. Естественно, что в проектировании фигур или объектов эти точки могут проявить себя только при целенаправленном выборе. Не останавливаясь на описании использования золотых пропорций, приведем пример пропорционированого переноса в пространстве плоской фигуры.

Рассмотрим построение на поверхности плоской или объемной фигуры и передвижение ее в пространстве способом пропорционирования. Проведем базисную прямую р и выделим на ней отрезок АД, который произвольно разделим на три части точками В и С (рис. 68). Получили некоторый аналог четырех гармонических точек. Поставим произвольную точку S, соединим ее лучами с точками А, В, С, Д, и посмотрим, что же получилось. Можно предположить, что здесь изображена проективная пирамида в которой точка В проекция поляры на базисную прямую, а точка Д полюс этой поляры. Однако для такой остроконечной фигуры полюс находится неестественно близко. Можно сделать другое предположение: фигура составлена из двух пересекающихся проективных пирамид АSВ и ВSД, каждая из которых включает поляру, а полюса у них – отсутствуют. Наконец возможен и третий вариант: на фигуре изображена четырехгранная пирамида, находящаяся на горизонтальной плоскости.

Допустим, что это четырехгранная пирамида и в произвольном месте пересечем ее плоскостью. Пронумеруем углы образовавшейся площадки 1, 2, 3, 4, и обратим внимание на то, что каждая сторона полученного четырехугольника образует со сторонами пирамиды трапеции: А 12 В, В 23 D, D 34 С, С 41 А. Выше было показано, что продолжение крыши каждой трапеции пересекает базисную прямую, образуя на ней свой полюс. Появление полюса свидетельствует о том, что внутри каждой трапеции существуют диагонали, а вместе с ними и виртуальная поляра. Проявим поляру, например, у ребра АSВ, для чего проведем в трапеции диагонали и через их пересечение проведем прямую – поляру SL (показано штрихами). Далее проведем лучи от крыш до пересечения базисной прямой в точках Е, F, G, Н и отметим, что любое наклонение пирамиды сопровождается деформацией всех ее элементов, но точки полюсов при этом своего положения не меняют и потому становятся реперами. Воспользовавшись этим обстоятельством, поставим произвольно новую точку опоры S _о. Соединим ее прямыми с точками А, В, С, D и перенесем на нее площадку 1234. Перенос можно произвести двумя способами: произвольным способом и пропорционально занимаемому ею месту. Для получения площадки по первому способу следует в нужном месте поставить на одно из ребер наклонной пирамиды АS _о D точку, например, 1´ и, соединив ее лучами с реперами Е и G´, получить стороны 1´2´ и 1´4´. Далее соединив лучами точку 2´ с репером F и точку 3´ с репером Н получить стороны 2´3´ и 3´4´. Искомая площадка 1´2´3´4´ построена.

Чтобы оставить все элементы пирамиды АS _о D пропорциональными АSD, необходимо провести две вспомогательные прямые. Одной соединить вершины S и S ₁, а другую S ₁ K – провести перпендикулярно первой. Затем перпендикулярно прямой S _о K перенести с пирамиды АSD точки 1, 2, 3, 4 на ребра пирамиды АS _о D получить точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ и соединив их прямыми, найти искомую площадку. Можно наклонить пирамиду и вправо, например, в точку опоры S ₁ провести построение пирамиды аналогично вышеизложенному.

Может возникнуть необходимость пропорционального перенесения площадки 1234 под базисную плоскость пирамиды. Поскольку первая точка искомой площадки может выбираться произвольно, ее ставят на продолжении любого ребра, например, точку 2_о на продолжении ребра SВ и лучами соединяют с реперами Е и Н (рис. 68). Лучи пересекают продолжения ребер АS и SD в точках 1_о и 3_о. Теперь, соединяя лучами точки 1_о и G, получаем точку 4_о, соединив ее с точкой 1_о, находим искомую площадку 1_о2_о3_о4_о. Полученная площадка является видом сверху с базисной плоскости.

Пространственное пропорционирование и перенос плоских и объемных фигур в рамках пирамиды хорошо известен и применяется в начертательной геометрии. Но в ней используется метод пропорционирования относительно сдвинутой базисной прямой или плоскости.

Реперный способ пропорционирования, похоже, неизвестен и не применяется. Естественно, что фигуры, пропорционированные обоими методами, должны быть конгруэнтными. Покажем это на примере пропорционирования той же площадки 1234.

На базисной плоскости р построим прямоугольную пирамиду с основанием АВСD и с вершиной S (рис. 69). Рассечем ее плоскостью 1234. Каждое ребро плоскости можно представить как крышу некоторой трапеции. Перенесем лучами на базисную поверхность р реперные точки Е, F, G, Н, от каждой крыши. Поведем другую базисную плоскость р ´ и продолжим грани пирамиды до пересечения с нею в точках А ´, В ´, С ´, D ´. Проведем через вершину S и точки Е, F, G, Н лучи до пересечения с р ´ в точках Е´, F´, G´, Н´. Реперные отметки перенесены на новую базисную плоскость.

Теперь можно поступать двумя способами: либо, как это изложено в начертательной геометрии, выбрать произвольную вершину S ₁ и провести от нее лучи до пересечения с р. Либо сразу же поставить на одно из ребер пирамиды какую-то точку плоскости, например 1. Выберем вершину S ₁ и проведем от нее лучи (показано штрихами) через точки 1, 2, 3, 4 до пересечения с р в точках 1´, 2´, 3´, 4´. Потом из вершины S проведем лучи через точки 1´, 2´, 3´, 4´ до пересечения с плоскостью р ´ в точках 1₁, 2₁, 3₁, 4₁. Возможность пропорционального перенесения площадки 1234 на другое место подготовлена. Теперь соединим лучам точку S ₁ с точками 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ и пересечение их с ребрами А ´ S, В ´ S, С ´ S, D ´ S пронумеруем точками 1_о, 2_о, 3_о, 4_о. Соединив полученные точки прямыми получим искомую площадку 1_о2_о3_о4_о. Теперь через точки 2_о и 1_о, проведем луч до пересечения с плоскостью р´. Луч пройдет через репер Е ´. Проведя аналогичную операцию с точками 2_о и 3_о, получим репер Н ´, с точками 3_о и 4_о, получим репер F ´, с точками 1_о и 4_о, получим репер G ´ (показано на рис. 69 штрихами.).

Таким образом, «площадки» 1_о2_о3_о4_о, перенесенная методом начертательной геометрии и методом реперов, оказываются конгруэнтными.

Не будем останавливаться на пропорционировании объемных фигур методом реперных отметок, поскольку он в принципе повторяет способ пропорционирование плоскостей. Покажем в заключение метод гармоничного пропорционирования вынесенных на оптимальное расстояние за начальную фигуру других плоских или объемных фигур. Этот метод существенен потому, что на сегодня, похоже, отсутствует способ перенесения одной фигуры пропорционально другой и гармоничного сочетания объектов по площади, высоте и объему.

Поэтому застройки городов по высоте, расположению в пространстве и конфигурации объектов представляют безобразное, ангармоничное нагромождение строений, уродующее структуру Земли и разлагающе действующее на психическое здоровье человека.

Еще раз отметим, что гармоничными сооружениями считаются такие объекты, которые по высоте, ширине и длине пропорционированы в золотых пропорциях. Пространственное размещение гармоничных объектов предполагает также использование не измерительных, а соизмерительных инструментов, тех же саженей, как для архитектурного проектирования, так и для размещения их на местности.

Покажем на одном примере пропорциональное перемещение фигуры с одного места на другое, расположенное рядом. Для этого отложим на базисной прямой отрезок АВ = 6 см и разделим его точками А, В, N, D на три части (рис. 22.), причем точка N делит АD в крайнем и среднем отношении. Из точки N восстановим перпендикуляр – поляру, на которой определяем точку опоры S отстоящую от основания на величину, например, равную 9 см. Соединив точку S с точками А и D находим пирамиду АSD, по которой и будет пропорционирована соседняя фигура. Далее следует определить расстояние от пирамиды до соседней фигуры. Оно должно быть кратным золотому числу, например АВ: 2,618 = 3,5 см.

Построение пропорционированной фигуры, отнесенной от пирамиды на расстояние 3,5 см, начинаем с проведения второй базисной прямой р ´, параллельной первой. Поскольку предстоит пропорциоро- ванный «переход» пирамиды АSD на новое место, то следует эту пирамиду «наклонить», перенеся ее точку опоры, например, в точку S _о. И из нее через точки А, В, N, D провести лучи до пересечения с р ´ в точках А ´, В ´, N ´, D ´. Теперь отложим от точки А отрезок АD _о = 3,5 см и через точку D _о из точки D ´ проведем луч, на котором в произвольном месте поставим опорную точку S ₁. Соединим точку S ₁ лучами с точками А ´, В ´, N ´ и в месте пересечения р ´ получим точки А _о, В _о, N _о основания наклонной пирамиды А _о S ₁ D _о. Искомая пирамида А _о S ₁ D _о пропорциональна по вурфу пирамиде АSD. Это можно показать графически. Ранее было показано, что лучи от крыш всех трапеций пропорционированных по вурфу пирамид сходятся в одной точке М. Найдем эту точку для пирамиды АSD. Для этого на поляре возьмем произвольную точку К и от А и D проведем через нее лучи до пересечения с ребрами АS и SD в точках Е и F. Прямая EF − крыша, спроектируем ее на базисную прямую р и получим полюс М. Отметим, что для всех пропорционированных пирамид расстояние от правой точки опоры до полюса будет всегда одинаковым и равным DМ.

Чтобы убедиться в этом построим аналогичную крышу для пирамиды А _о S ₁ D _о и продолжим ее до пересечения с р в точке М _о. Замерим отрезок D _о М _о и получаем, что расстояние ДМ = D _о М _о. Дополнительно проверим это явление. Поставим еще одну точку опоры S ₂ и соединив ее сточками В _о, D _о получаем еще одну пирамиду пропорциональную А ₁ S ₂ D _о. Определим на ней крышу Е _о F _о проведем от нее луч до пересечения с р. Луч пересек р в точке М _о. Таким образом вурфную пропорциональность пирамид А _о S ₁ D _о и АSD можно считать доказанной.

Кратко рассмотрим особенности фигуры называемой «теорема Паскаля». Вот как она описывается [27]:

«Впишем в любое коническое сечение (для проективной геометрии разницы между ними нет) произвольный (произвольный?? – Авт.) шестиугольник (см. рис. 71, на котором стороны занумерованы). Продолжим теперь до пересечения первую и четвертую, вторую и пятую, третью и шестую стороны. Полученные прямые обязательно пересекутся, ибо параллельных в проективной геометрии нет (?? − достаточно сомнительное заявление − Авт.). Итак, мы имеем три точки пересечения трех пар прямых. Вообще говоря, три произвольные точки плоскости не лежат на одной прямой, но эти три − лежат. В этом и заключается теорема Паскаля. Если теперь проектировать коническое сечение вместе с шестиугольником, с точками пересечения его сторон и с прямой, проходящей через эти три точки (ее называют паскалевой прямой), на другую плоскость, то, как бы не изменялось коническое сечение и вся конфигурация, указанные три точки все равно будут лежать на одной прямой. Теорема Паскаля – проективная теорема».

Поиск по сайту: