Ряды динамики

Временной ряд называется также рядом динамики и представляет собой ряд последовательно расположенных во времени числовых значений соответствующего показателя. Он состоит из двух элементов:

1) периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения (t);

2) числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда (у).

По характеру отображения динамики временные ряды делятся на моментные и интервальные. Уровни моментных рядов динамики характеризуют объекты изучения по состоянию на определенный момент времени: численность населения на конец года (или на дату переписи), товарные запасы на складе на начало каждого дня и т.д. Уровни интервальных рядов динамики характеризуют явления за определенный промежуток, интервал времени: товарооборот магазина за квартал, прибыль предприятия за год и т.п.

Если уровни интервального ряда представляют собой абсолютные величины, то их можно суммировать во времени, т.е. переходить от ряда динамики с малыми временными интервалами к более крупным промежуткам времени. Суммируя уровни интервальных рядов из абсолютных величин, можно строить ряды динамики с нарастающими итогами.

Уровни моментного динамического ряда не меняются с изменением временного промежутка. Так, если курс доллара дан по состоянию на каждый день года, то при переходе к ряду динамики с укрупненным интервалом (например, по декадам) ряд укоротится, но сами уровни на начало каждой декады останутся прежними.

Уровни временного ряда могут изменяться в самых разных направлениях: они могут возрастать или убывать, повторять ранее достигнутый уровень. Интенсивность их изменения бывает различной. Уровни ряда могут изменяться быстрее или медленнее. Для характеристики развития явления во времени применяются следующие показатели:

а) абсолютные приросты (Δу);

б) темпы роста (Т_р);

в) темпы прироста (снижения) (ΔТ_р);

г) абсолютное ускорение или замедление (Δ″):

д) относительное ускорение (Δ″Т_р).

Абсолютный прирост (абсолютное изменение) уровней ряда рассчитывается как разность двух уровней. Он показывает, на сколько единиц уровень одного периода больше или меньше уровня, другого периода.

В зависимости от базы сравнена абсолютные приросты могут быть цепными и базисными:

Δу_цепной=y_i – y_i-1; Δу_{базисный}=y_i – y_i-0. (1.69)

Если каждый последующий уровень ряда динамики сравнивается со своим предыдущим уровнем, то прирост называется цепным. Если же в качестве базы сравнения выступает за ряд лет один и тот же период, то прирост называется базисным.

Интенсивность изменения уровней временного ряда характеризуется темпами роста и прироста.

Темп роста есть отношение двух уровней ряда. Как и абсолютные приросты, темпы роста могут рассчитываться как цепные и как базисные:

(1.70)

Если база сравнения по периодам меняется, то найденные темпы роста называются цепными. Если же база сравнения по периодам неизменна (у₀) темпы роста называются базисными.

Темпы роста, выраженные в коэффициентах, принято называть коэффициентами роста:

(1.71)

В анализе используется один из этих показателей: либо темп роста, либо коэффициент роста, ибо экономическое их содержание одно и то же, но по-разному выражено: в % (Т_р) и в разах (К_р).

Если цепные темпы роста характеризуют интенсивность изменения уровней от года к году (от месяца к месяцу), то базисные темпы роста фиксируют интенсивность роста (снижения) за весь интервал времени между текущим и базисным уровнями.

Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню динамического ряда (цепной показатель) и к уровню, принятому за базу сравнения по динамическому ряду (базисный показатель):

(1.72)

Между цепными и базисными показателями изменения уровней ряда существует следующая взаимосвязь:

а) сумма цепных абсолютных приростов равна базисному приросту;

б) произведение цепных коэффициентов роста равно базисному или равносильное этому деление рядом стоящих базисных коэффициентов роста друг на друга равно цепным коэффициентам роста.

Взаимосвязь цепных и базисных темпов (коэффициентов) роста позволяет при анализе, если необходимо, переходить от цепных показателей к базисным и наоборот;

в) темп прироста связан с темпом роста: ΔТ_р = Т_р - 100. Поэтому при анализе обычно приводится какой-то один из них: темп роста либо темп прироста. Зная, цепные темпы прироста, можно определить базисный темп прироста. Для этого нужно от темпов прироста перейти к темпам (коэффициентам) роста и далее воспользоваться указанной выше взаимосвязью коэффициентов роста. Чтобы знать, что скрывается за каждым процентом прироста, рассчитывается абсолютное значение 1% прироста как отношение абсолютного прироста уровня за интервал времени к темпу прироста за этот же промежуток времени:

или . (1.73)

Иными словами, абсолютное значение 1% прироста в данном периоде есть сотая часть достигнутого уровня в предыдущем периоде. В связи с этим расчет абсолютного значения 1% прироста базисным методом не имеет смысла, ибо для каждого периода это будет одна и та же величина - сотая часть уровня базисного периода.

Абсолютные приросты показывают скорость изменения уровней ряда в единицу времени. Если они систематически возрастают, то ряд развивается с ускорением. Величина абсолютного ускорения определяется как Δ˝=Δ_i - Δ_i-1, т.е. по аналогии с цепным абсолютным приростом, но сравниваются между собой не уровни ряда, а их скорости.

Если систематически растут цепные темпы роста, то ряд развивается с относительным ускорением. Относительное ускорение можно определить как разность следующих друг за другом темпов роста или прироста:

или . (1.74)

Полученная величина выражается в процентных пунктах (п.п.).

Относительное ускорение может быть измерено и с помощью коэффициента опережения. Коэффициент опережения определяется как отношение последующего темпа роста к предыдущему:

. (1.75)

Коэффициенты опережения принято рассчитывать в сравнительном анализе нескольких рядов динамики. При параллельном изучении нескольких рядов динамики обычно их приводят к одному основанию путем расчета базисных темпов, роста с одинаковой по времени базой сравнения для всех рядов. Это позволяет наглядно видеть, для какого ряда интенсивность изменения уровней наибольшая. Сравнивая далее наибольшие темпы роста с наименьшими, определяют коэффициенты опережения в развитии одного явления по отношению к другому.

Для обобщения данных по рядам динамики рассчитываются:

- средний уровень ряда;

- средний абсолютный прирост;

- средний темп роста и прироста.

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

По интервальному динамическому ряду из абсолютных величин с равными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

, (1.76)

где y_i – уровни для i-го периода; n – число уровней в ряду динамики.

По интервальному временному ряду из относительных и средних величин средний уровень определяется так же, как в статике, т.е. с учетом информации по признакам, связанным с осредняемым. Так, средняя урожайность должна определяться по средней арифметической взвешенной:

, (1.77)

где у - урожайность по годам; х-посевная площадь по годам.

По моментному динамическому ряду в зависимости от исходной информации средний уровень ряда определяется тремя способами.

1 Если известны данные об изменении уровня ряда внутри вре­менного промежутка, то средний уровень определяется как средняя арифметическая взвешенная:

, (1.78)

где у_i - уровень моментного динамического ряда; t_i - период, в течение которого уровень у, остается неизменным, т.е. период действия уровня у_i.

2 Однако не всегда имеется информация об изменении уровня моментного ряда внутри рассматриваемого временного промежутка. В этом случае средний уровень моментного ряда динамики определяется приближенно как средняя арифметическая взвешенная из парных смежных средних:

, (1.79)

где - смежные парные средние, найденные как средняя арифметическая простая из двух рядом стоящих уровней, т.е.

. (1.80)

Величина отображает средний уровень за определенный интервал времени.

3 Если интервалы между датами равны, то рассмотренная ранее средняя арифметическая взвешенная преобразуется в тождественную ей среднюю хронологическую:

. (1.81)

Данная формула используется, например, для расчета среднегодо­вой стоимости имущества при уплате налога на имущество.

Кроме среднего уровня, при анализе и прогнозировании широко используются средние показатели изменения уровней ряда, а именно средний абсолютный прирост и средний темп роста.

Средний абсолютный прирост определяется как средняя арифметическая простая из цепных приростов:

. (1.82)

Так как ΣΔ_цепные=Δ_{базисное}, средний абсолютный прирост можно определять следующим образом:

, (1.83)

где y_n - последний уровень динамического ряда; y₀ - уровень, взятый за базу сравнения; n – число уровней в ряду динамики.

Для обобщения характеристики интенсивности роста рассчитывается средний темп (коэффициент) роста по средней геометрической простой:

, (1.84)

где К₁, К₂,..., K_n - цепные коэффициенты роста; n - число цепных коэффициентов роста.

Учитывая взаимосвязь цепных и базисных темпов роста, средний темп роста можно представить следующим образом:

. (1.85)

В средней геометрической корень степени определяется как разность хронологических дат.

Если даты представлены не от года к году, а с интервалами, для расчета средних показателей динамики используются формулы:

- среднегодового абсолютного прироста

; (1.86)

- среднегодового коэффициента роста

, (1.87)

где Т - продолжительность периода.

Среднегодовой темп прироста определяется на основе среднего темпа роста:

. (1.88)

Рассмотренные средние показатели динамики достаточно широко используются при экстраполяции тенденции ввиду их простоты и возможности четко интерпретировать результат.

Контрольные вопросы и задания:

1 Назовите виды рядов динамики.

2 Перечислите аналитические показатели динамического ряда.

3 Дайте общую характеристику средних показателей динамического ряда.
1.9 Индексы

Индекс - это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления. Каждый индекс включает данные за два периода: отчетный (сравниваемый, текущий) и базисный, который используется как база сравнения. Данные отчетного периода обозначают подстрочным значком 1, базисного - 0.

Индекс, рассчитанный по отдельным единицам изучаемой совокупности, называется индивидуальным и обозначается i. Сводный (общий) индекс отражает изменение обобщенных величин по всей совокупности и обозначается символом I.

Если при построении индекса исследуемый признак берется без учета связи его с другими признаками, то индекс называется простым и является оценкой только динамики признака.

Индекс называется аналитическим, если изучаемый признак рассматривается не изолированно, а во взаимосвязи с другими признаками. Помимо обобщенной характеристики динамики непосредственно несоизмеримых явлений (синтетическая функция индексов), аналитические индексы выполняют аналитическую функцию, т.е. позволяют измерить вклад отдельных факторов в совокупное изменение результата.

Сводные аналитические индексы в зависимости от методов построения подразделяются на агрегатные и средневзвешенные из индивидуальных.

Агрегатные индексы наряду с индексируемым признаком (признак, динамика которого изучается) содержат и признак-вес, который позволяет обобщить (соизмерить) разнородные элементы совокупности. Индексируемый признак при построении агрегатного индекса меняется: отчетный уровень сравнивается с базисным, признак-вес берется на неизменном фиксированном уровне либо базисного периода (по формуле Ласпейреса), либо отчетного периода (по формуле Пааше).

Методы построения индексов различных явлений одинаковы. Рассмотрим их построение на примере следующей системы признаков:

- объем продаж (физический объем реализации) (q);

- цена (р);

- товарооборот или выручка от реализации (w=qp).

Динамика признаков по отдельным элементам изучаемой совокупности может быть оценена с помощью индивидуальных индексов:

, , . (1.89)

где q₁, p₁, w₁ - объем продаж, цена и товарооборот по отдельным элементам совокупности в отчетном периоде; q₀, p₀, w₀ - объем продаж, цена и товарооборот в базисном периоде.

В целом по совокупности, состоящей из элементов, непосредственно несоизмеримых (различные виды продукции, товарные группы и т.д.), изменение физического объема реализации и цен характеризуется с помощью агрегатных индексов, формулы построения которых приведены в таблице 1.10.

Таблица 1.10 - Агрегатные индексы

Формулы индексов	Название индексов
Индекс физического объема и других первичных признаков	Индекс цен и других вторичных признаков
По формуле Ласпейреса (по базисным весам)
По формуле Пааше (по отчетным весам)
Индекс Фишера

Индексы позволяют определить относительное изменение цен, но оно не будет одинаковым, так как имеет различное экономическое содержание.

Индекс Пааше показывает, во сколько раз изменился уровень цен на продукцию текущего периода.

Индекс Ласпейреса показывает, во сколько раз подорожала бы или подешевела бы продукция базисного периода из-за изменения цен на нее в отчетном периоде.

Идеальный индекс Фишера рассчитывается как средняя геометрическая из индексов цен Ласпейреса и Пааше:

. (1.90)

Идеальный индекс Фишера используется при исчислении индексов цен на длительный период времени для сглаживания тенденции в структуре и составе объема продукции, в которых происходят значительные изменения. Его недостаткам является то, что он не имеет экономической интерпретации

Сводный индекс товарооборота является простым и рассчитывается по формуле:

(1.99)

Индекс товарооборота может быть найден и через взаимосвязь индексов (мультипликативная модель индексов):

. (1.100)

При этом для увязки индексов в систему веса в индексах первичных и вторичных признаков должны быть фиксированы на уровне разных периодов:

или (1.101)

Поскольку числитель и знаменатель агрегатных индексов имеют экономический смысл, нередко используются их разности. Так, например, разность числителя и знаменателя индекса товарооборота

(1.102)

характеризует абсолютный прирост (уменьшение.) товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным одновременно за счет:

а) изменения физического объема продаж;

б) изменения цен.

Измерить изолированное (элиминированное) влияние каждого из этих двух факторов можно через разность числителя и знаменателя соответствующих аналитических индексов.

Разность числителя и знаменателя индекса физического объема (по формуле Ласпейреса) показывает, как в абсолютном выражении изменился товарооборот за счет роста (сокращения) физического объема продаж:

(1.103)

Разность числителя и знаменателя индекса цен (по формуле Пааше) означает абсолютный прирост (уменьшение) товарооборота в результате роста (снижения) цен:

(1.104)

Абсолютные изменения за счет отдельных факторов в сумме дают общее абсолютное изменение результативного признака:

(1.105)

Эта же схема справедлива и для системы взаимосвязанных индексов, где индекс физического объема построен по отчетным весам (по формуле Пааше), а индекс цен - по базисным (по формуле Ласпейреса):

(1.106)

(1.107)

(1.108)

При проведении статистического анализа может определяться также доля каждого фактора в формировании общего изменения результата:

- доля прироста (уменьшения) товарооборота за счет изменения физического объема продаж:

; (1.109)

- доля прироста (уменьшения) товарооборота за счет изменения цен:

; (1.110)

При этом или 100%, если доли выражены в процентах.

Если информационная база не дает возможности проведения индексного анализа в агрегатной форме, индексы могут быть построены в форме средних из индивидуальных. Ниже приведены формулы некоторых средних индексов из индивидуальных.

Средний арифметический индекс физического объема:

, (1.111)

где d_w0 - доля товарооборота отдельных видов продукции (товарных групп)" в общем товарообороте базисного периода.

Средний гармонический индекс цен по формуле Пааше:

(1.112)

где d_w1 - доля товарооборота отдельных видов продукции (товарных групп) в общем товарообороте отчетного периода.

Средний арифметический индекс цен по формуле Ласпейреса:

. (1.113)

Индексный метод применяется в статистике также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. Эти задачи решаются с помощью системы взаимосвязанных индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин какого-либо признака в отчетном и базисном периодах:

. (1.114)

Как видно из формулы, индекс переменного состава характеризует изменение среднего уровня признака за счет влияния двух факторов:

1) изменения значений осредняемого признака (х) у отдельных единиц совокупности;

2) структурных изменений, под которыми понимается изменение доли отдельных единиц совокупности в общей их численности ().

Индекс постоянного (фиксированного) состава отражает изолированное действие первого фактора - показывает средний размер изменения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и строится как отношение средних взвешенных величин постоянного состава, т.е. с одними и теми же весами:

. (1.115)

Индекс постоянного состава может быть рассчитан и в агрегатной форме:

. (1.116)

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности на динамику среднего уровня признака:

. (1.117)

Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов увязываются в следующую систему:

(1.118)

Если в индексах средних уровней в качестве весов используются удельные веса единиц совокупности в общей численности совокупности, т.е. показатели доли (), то система индексов может быть записана в следующем виде:

, , . (1.119)

Система индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов строится для изучения динамики среднего уровня цен, себестоимости, фондоотдачи, рентабельности, производительности труда, заработной платы и других вторичных признаков.

Помимо мультипликативной модели, на основе индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов может быть построено и аддитивное разложение, отражающее абсолютное изменение среднего уровня вторичного признака за счет отдельных, факторов. Так, общий абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава:

или . (1.120)

Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности и за счет структурных изменений рассчитывается соответственно как разность числителей и знаменателей индексов постоянного состава и структурных сдвигов:

или . (1.121)

или . (1.122)

В общем виде аддитивное разложение имеет вид:

. (1.123)

Контрольные вопросы и задания:

1 Дайте определение индекса. Приведите примеры экономических индексов.

2 Объясните разницу между индивидуальными и общими индексами.

3 Что такое агрегатный индекс?

4 Какова роль средних индексов?

5 Какие факторы положены в основу различия агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше?

Поиск по сайту: