АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Описание алгоритма

Читайте также:
  1. II. ОПИСАНИЕ МАССОВОЙ ДУШИ У ЛЕБОНА
  2. XI. Описание заболевания
  3. Анализ основных конкурентов (схема и описание)
  4. Античное историческое сознание и историописание
  5. Античное историческое сознание и историописание – с. 74-75
  6. Библиографическое описание
  7. Библиографическое описание как форма свертывания информации
  8. Вопрос1 Кинематическое описание движения материальной точки
  9. Вопрос№3 Виды механического движения, графическое описание, харакеристики.
  10. Графическое описание алгоритма
  11. Жизнеописание Павличенки, Матвея Родионыча
  12. ЗАДАНИЕ 4 ПРАВОПИСАНИЕ ПРИСТАВОК

Алгоритм, разработанный Ривестом, Шамиром и Адлеманом, использует выражения с экспонентами. Данные шифруются блоками, каждый блок рассматривается как число, меньшее некоторого числа n. Шифрование и дешифрование имеют следующий вид для некоторого незашифрованного блока М и зашифрованного блока С.

С = Ме (mod n)M = Cd (mod n) = (Me)d (mod n) = Med (mod n)

Как отправитель, так и получатель должны знать значение n. Отправитель знает значение е, получатель знает значение d. Таким образом, открытый ключ есть KU = {e, n} и закрытый ключ есть KR = {d, n}. При этом должны выполняться следующие условия:

  1. Возможность найти значения е, d и n такие, что Med = M mod n для всех М < n.
  2. Относительная легкость вычисления Ме и Сd для всех значений М < n.
  3. Невозможность определить d, зная е и n.

Сначала рассмотрим первое условие. Нам необходимо выполнение равенства:

Med = М (mod n)

Рассмотрим некоторые математические понятия, свойства и теоремы, которые позволят нам определить e, d и n.

  1. Если (а · b) (a · c) mod n, то b c mod n, если а и n взаимнопростые, т.е gcd (a, n) = 1.
  2. Обозначим Zp - все числа, взаимнопростые с p и меньшие p. Если p - простое, то Zp - это все остатки. Обозначим w-1 такое число, что w · w-1 1 mod p.

Тогда w Zp z: w · z 1 mod p

Доказательство этого следует из того, что т.к. w и p взаимнопростые, то при умножении всех элементов Zp на w остатками будут все элементы Zp, возможно, переставленные. Таким образом, хотя бы один остаток будет равен 1.

  1. Определим функцию Эйлера следующим образом: Φ(n) - число положительных чисел, меньших n и взаимнопростых с n. Если p - простое, то Φ(р) = p-1.

Если p и q - простые, то Φ(p · q) = (p-1) · (q-1).

В этом случае Zp · q ={0, 1, ј, (p · q - 1)}.

Перечислим остатки, которые не являются взаимнопростыми с p · q:

{p, 2 · p, ј, (q-1) · p}{q, 2 · q, ј, (p-1) · q}0

Таким образом Φ(p · q) = p · q - [(q-1) + (p-1) + 1] = p · q - (p+q) + 1 = (p-1) · (q-1).

  1. Теорема Ферма.

an-1 1 mod n, если n - простое.

Если все элементы Zn умножить на а по модулю n, то в результате получим все элементы Zn, быть может, в другом порядке. Рассмотрим следующие числа:

{a mod n, 2 · a mod n, ј, (n-1) · a mod n} являются числами {1, 2, ј, (n-1)}, быть может, в некотором другом порядке. Теперь перемножим по модулю n числа из этих двух множеств.

[(a mod n) · (2a mod n) ·... · (n-1)a mod n] mod n (n-1)! mod n(n-1)! an-1 (n-1)! mod n

n и (n-1)! являются взаимнопростыми, если n - простое, следовательно, an-1 1 mod n.

  1. Теорема Эйлера.

aΦ(n) 1 mod n для всех взаимнопростых a и n.

Это верно, если n - простое, т.к. в этом случае Φ(n) = n-1. Рассмотрим множество R = {x1, x2, ј, xΦ(n)}. Теперь умножим по модулю n каждый элемент этого множества на a. Получим множество S = {a · x1 mod n, a · x2 mod n, ј, a · xΦ(n) mod n}. Это множество является перестановкой множества R по следующим причинам.

Так как а является взаимнопростым с n и xi являются взаимнопростыми с n, то a · xi также являются взаимнопростыми с n. Таким образом, S - это множество целых, меньших n и взаимнопростых с n.

В S нет дублей, т.к. если a · xi mod n = a · xj mod n xi = xj.

Следовательно, перемножив элементы множеств S и R, получим:

Φ(n) Φ(n) ∏ (a · xi mod n) ∏ xi mod ni=1 i=1 Φ(n) Φ(n)(∏ a · xi ∏ xi) mod n i=1 i=1 Φ(n) Φ(n)(aΦ(n) · ∏ xi ∏ xi) mod n i=1 i=1(aΦ(n) 1) mod n

Теперь рассмотрим сам алгоритм RSA. Пусть p и q - простые.

n = p · q.

Надо доказать, что M < n: MΦ(n) = M(p-1) · (q-1) 1 mod n

Если gcd (M, n) = 1, то соотношение выполняется. Теперь предположим, что gcd (M, n) 1, т.е. gcd (M, p · q) 1. Пусть gcd (M, p) 1, т.е. M = c · p gcd (M, q) = 1, так как в противном случае M = c · p и M = l · q, но по условию M < p · q.

Следовательно,

MΦ(q) 1 mod q(MΦ(q))(p) 1 mod qMΦ(n) 1 mod q

По определению модуля это означает, что MΦ(n) = 1 + k · q. Умножим обе части равенства на M = c · p. Получим

MΦ(n)+1 = c · p + k · q · c · p.MΦ(n) 1 mod n

Или

MΦ(n)+1 M mod n

Таким образом, следует выбрать e и d такие, что е · d 1 mod (n)

Или e d-1 mod Φ(n)

e и d являются взаимнообратными по умножению по модулю Φ(n). Заметим, что в соответствии с правилами модульной арифметики, это верно только в том случае, если d (и следовательно, е) являются взаимнопростыми с Φ(n). Таким образом, gcd (Φ(n), d) = 1.

Теперь рассмотрим все элементы алгоритма RSA.

p, q - два простых целых числа - открыто, вычисляемо.
n = p · q - закрыто, вычисляемо.
d, gcd (Φ(n), d) = 1; - открыто, выбираемо.
1 < d < Φ(n)
е d-1 mod Φ(n) - закрыты, выбираемы.

Закрытый ключ состоит из {d, n}, открытый ключ состоит из {e, n}. Предположим, что пользователь А опубликовал свой открытый ключ, и что пользователь В хочет послать пользователю А сообщение М. Тогда В вычисляет С = Ме (mod n) и передает С. При получении этого зашифрованного текста пользователь А дешифрует вычислением М = С d (mod n).

Суммируем алгоритм RSA:

Создание ключей

Выбрать простые р и q
Вычислить n = p · q
Выбрать d gcd (Φ(n), d) = 1; 1 < d < Φ(n)
Вычислить е е = d-1 mod Φ(n)
Открытый ключ KU = {e, n}
Закрытый ключ KR = {d, n}

Шифрование

Незашифрованный текст: М < n
Зашифрованный текст: С = М е (mod n)

Дешифрование

Зашифрованный текст: С
Незашифрованный текст: М = Сd (mod n)

Рассмотрим конкретный пример:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)