Задача 10. Определить, что являлось элементной базой ЭВМ 2-го поколения?

Определить, что являлось элементной базой ЭВМ 2-го поколения?

Ответ: транзисторы

§3. Системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционную и непозиционную. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её нахождения в позиции числа, а в непозиционных - не зависит.

Самой распространённой из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются латинские буквы: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Здесь значение цифры не зависит от её позиции в числе. Например, в числе ХХХ=30 цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Римскую систему счисления из-за её специфических свойств иногда называют полупозиционной: так, в числах IX и XI знак I обозначает в обоих случаях единицу (признак непозиционной системы), но, будучи расположенным слева от знака X (обозначающего десять), вычитается из десяти, а при расположении справа – прибавляется к десяти. В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа- то прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: MCMXCVIII=1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1.

Примером позиционной формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т.е. просто три), а во втором – три сотни (т.е. триста).

Тогда любое число в системе счисления с основанием p представляется так:

(12)

Таблица 3.

Здесь a₀, a₁, a₂, … a_n – цифры системы счисления, набор которых a_na_n-1 … … a₃a₂a₁a₀ представляет запись числа, суммирования справа в этой формуле осуществляется по правилам десятичной арифметики, наконец, n – номер позиции, которую занимает та или иная цифра (n = 0, 1, 2, 3 …).

Например, для десятичного (p = 10, набор цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) числа 345 его значение рассчитывается по формуле: 3·10² + 4·10¹ + 5·10⁰ = 300 + 40 + 5 = 345.

В современной информатике используются несколько систем счисления, например, двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

В двоичной системе счисления для представления числа применяются две цифры: 0 и 1.

В шестнадцатеричной системе счисления используются десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

В качестве примера, соответствие между первыми несколькими натуральными числами указанных систем счисления представлено в таблице 3.

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

- для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 101000₂ = 101000_b = 101000_B = 101000B = 101000b;

- для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак H или h справа от числа. Например, 3AB₁₆ = 3AB_H = 3AB_h = 3ABH = 3ABh.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую осуществляют по определенным правилам. Правила различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь.

Приведём некоторые из правил перевода чисел из одной системы счисления в другую и обратно.

Вначале рассмотрим перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную. Для выполнения таких переводов можно следовать следующему пошаговому алгоритму:

а. Исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;

б. Если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в, иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а;

в. Все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

г. Формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым.

Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

Рассмотрим несколько примеров использования этого алгоритма.

Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Таким образом, 19 = 10011₂.

Пример 2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, 19 = 13₁₆.

Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В в соответствии с Таблицей 3 и после этого данная цифра вошла в число. Таким образом, 123 = 7В₁₆.

Теперь рассмотрим пример перевода из двоичной и шестнадцатеричной системы счисления обратно в десятичную. При этом рассчитывается значение числа по приведённой выше формуле (12).

Пример 4. Выполним перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления.

В соответствие с формулой (1) имеем:

13₁₆ = 1·16¹ + 3·16⁰ = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 5. Выполним перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления.

В соответствие с формулой (12) имеем:

10011₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 10011₂ = 19.

Далее, рассмотрим пример перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом:

а. Исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов, если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, то оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б. Каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 3.

Пример 6. Выполним перевод числа 10011₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения числа цифр кратности 4. Теперь имеем:

10011₂ = 0001 0011₂.

Здесь: 0011 – первая тетрада (младшая цифра цисла),

0001 – вторая тетрада (старшая цифра числа).

Далее, в соответствии с таблицей 3:

0011₂ = 11₂ = 3₁₆ и 0001₂ = 1₂ = 1₁₆.

Тогда 10011₂ = 13₁₆.

Теперь рассмотрим пример перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Для этого, воспользуемся следующим алгоритмом:

а. Каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей 3. Если в таблице 3 двоичное число состоит менее чем из 4-х цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б. Незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 7. Выполним перевод числа 13₁₆ в двоичную систему счисления.

Из таблицы 3 имеем:

1) 1₁₆ = 1₂ и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 1₂ = 0001₂;

2) 3₁₆ = 11₂ и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 11₂ = 0011₂.

Тогда 13₁₆ = 00010011₂. После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆ = 10011₂.

Теперь рассмотрим некоторые правила перевода правильных дробей. Напомним, что правильная дробь имеет нулевую целую часть, т.е. у нее числитель меньше знаменателя.

Вначале рассмотрим алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную и рассмотрим примеры перевода. Алгоритм перевода имеет следующий вид:

а. Исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

б. В полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей 3 в цифру нужной системы счисления и отбрасывается – она является старшей цифрой получаемой дроби;

в. Оставшаяся дробная часть (это правильная дробь) вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а и б;

г. Процедура умножения продолжается до тех пор, пока не будет получен нулевой результат в дробной части произведения или не будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

д. Формируется искомое число так: последовательно отброшенные в шаге б цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 8. Выполним перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод будем выполнять до четырех значащих цифр после запятой.

Имеем:

Таким образом, 0,847 = 0,11012.

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.

Пример 9. Выполним перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод будем выполнять до трех значащих цифр.

Имеем:

В данном примере также процедура перевода прервана в соответствии с заданным уровнем точности.

Таким образом, 0,847 = 0,D8D16.

Рассмотрим теперь примеры перевода правильных дробей из двоичной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Пример 10. Выполним перевод числа 0,11012 из двоичной системы счисления в десятичную.

Имеем:

0,11012 = 1 · 2-1 + 1 · 2-2 + 0 · 2-3 +1 · 2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.

Таким образом, 0,11012 = 0,8125.

Пример 11. Выполним перевод числа 0,D8D16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Имеем:

0,D8D16 = 13 · 16-1 + 8 · 16-2 + 13 · 16-3 = 13 · 0,0625 + 8 · 0,003906 + 13 · 0,000244 = 0,84692.

Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

Таким образом, 0,D8D16 = 0,84692.

Для перевода правильных дробей из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную воспользуемся следующим алгоритмом:

а. Исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо, если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

б. Каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 3.

Теперь рассмотрим примеры такого перевода.

Пример 12. Выполним перевод числа 0,11012 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Имеем:

1101 – первая (и единственная) тетрада.

В соответствии с таблице 3 имеем: 11012 = D16.

Тогда 0,11012 = 0,D16.

Пример 13. Выполним перевод числа 0,00101012 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:

0,0010101₂ = 0,0010 1010₂

Здесь: 0010 – первая терада, 1010 – вторая тетрада.

В соответствии с таблицей 3: 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16.

Тогда 0,00101012 = 0,2A16.

Далее, для перевода правильной дроби из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, воспользуемся следующим алгоритмом и проиллюстрируем его примером:

а. Каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей 3.

б. Незначащие нули отбрасываются.

Пример 14. Выполним перевод числа 0,2А16 из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

По таблице 3 имеем: 216 = 00102 и А16 = 10102.

Тогда 0,2А16 = 0,001010102.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А16 = 0,00101012

В заключение рассмотрим правила перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую. Напомним, что неправильная дробь имеет ненулевую целую часть, т.е. у нее числитель больше знаменателя. При переводе отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Затем полученные результаты складываются. Проиллюстрируем перевод неправильной дроби из одной системы счисления в другую на примере.

Пример 15. Выполним перевод числа 19,847 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Перевод будем выполнять до трех значащих цифр после запятой.

Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:

19,847 = 19 + 0,847.

Как следует из Примера 2: 19 = 1316, а в соответствии с Примером 9: 0,847 = 0,D8D16.

Тогда имеем:

19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16.

Здесь в правой части использовано правило сложения двух шестнадцатеричных чисел.

Таким образом, 19,847 = 13,D8D16.

§4. Задачи на правила перевода из одной системы счисления в другую

Поиск по сайту: