Логические законы

Два высказывания являются равносильными (º), если на одинаковых наборах данных они принимают одинаковые значения, т.е. для доказательства логических законов необходимо установить какие значения принимают обе части высказывания на всевозможных значениях переменных, входящих в высказывание. Такой подход возможен благодаря небольшому количеству исходных данных.

1. коммутативные (перестановочные) законы

.

Пример. “А и В сидели на трубе” равносильно “В и А сидели на трубе”.

2. ассоциативные (сочетательные) законы

Пример. “Мы с подружкой Юлей дружим с Сашей” равносильно “Я дружу с Юлей и Сашей”.

3. дистрибутивные (распределительные) законы

Пример. “Я дружу с Алексеем или Васей и Петей” эквивалентно “Я дружу с Алексеем или Васей и дружу с Алексеем или Петей”.

4. закон двойного отрицания

Пример. “Неверно, что умный в гору пойдет” эквивалентно “Умный в гору не пойдет”. “Неверно, что курица не птица” эквивалентно “Курица - птица”.

5. законы де Моргана

;

Пример. Отрицание фразы “Наша служба опасна и трудна” может иметь две формы:

а). неверно, что наша служба и опасна и трудна (левая часть закона).

б). наша служба или не опасна или не трудна (правая часть закона).

Для фразы “Была прочна палатка или был не страшен путь” есть два варианта отрицания:

а) неверно, что была прочна палатка или был не страшен путь (левая часть закона);

б) была не прочна палатка и был страшен путь (правая часть закона).

6. законы идемпотентности

7. закон исключающего третьего

Пример. У меня есть компьютер или у меня нет компьютера, третьего не дано.

8. закон непротиворечивости

Одновременно не могут быть истинными высказывание и его отрицание.

Пример. Я не Рафаэль и я - Рафаэль, т.е. одновременно нельзя быть и не быть Рафаэлем.

9. законы, определяющие действия с логическими константами 0 и 1.

10. законы поглощения

11. закон склеивания

Пример. Фрекен Бок рассуждала следующим образом: “У меня жужжит в правом ухе и в левом или у меня жужжит в правом ухе, но не жужжит в левом”. Используя данный закон, можно было бы сказать, что у фрекен Бок жужжало только в правом ухе.

Рассмотрим доказательство закона дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции: A Ù (B Ú C) º (A Ù B) Ú (A Ù C).

Столбики 5 и 8 полностью совпали, следовательно, закон доказали.

Упражнения.

1. Докажите тождества:

1).

2).

2. Докажите ассоциативные законы и законы де Моргана.

3. Сформулируйте на русском языке отрицание фраз:

· летом мы пойдем в лес и не встретим волка;

· или кошка поймает мышку, или мышка обманет кошку;

· он ел одну лишь травку и с мухами дружил;

· это мы не проходили и это нам не задавали;

· это мы не проходили или это нам не задавали;

· скатертью дальний путь стелется и упирается прямо в небосклон;

· никогда не разрешайте ставить градусник себе, и таблеток не глотайте, и не ешьте порошков.

4. Определите значение истинности следующих высказываний:

* если 2 х 2 = 5, то лучший друг Чебурашки - крокодил Гена;

* если 2 х 2 = 5, то лучший друг Чебурашки - старуха Шапокляк;

* Шерлок Холмс и доктор Ватсон - знаменитые сыщики тогда и только тогда, когда лиса Алиса и кот Базилио - знаменитые плутишки;

* 4 - простое число или Белоснежка знакома с 7 гномами;

* Колобок ушел от волка и от лисы;

* Мойдодыр - герой сказки Пушкина, а Балда - герой сказки Чуковского;

* Мойдодыр - герой сказки Чуковского или Балда - герой сказки Чуковского;

* Мойдодыр - герой сказки Чуковского, а Балда - герой сказки Пушкина;

* Карл у Клары украл кораллы, а Клара у Карла украла кларнет или ехал Грека через реку, но не увидел в реке рака;

5. Нарисуйте на плоскости X, Y область, в которой и только в которой выполняется следующее условие: (x ³ y) Ù (x + y ³ 0) Ù (y £ 1).

Поиск по сайту: