 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
а) при числе эпициклов,равном 1; б) при числе 2
Рис. 11.6. Поворот плоскости орбиты заряда m: а) вид орбиты этого заряда
при повороте вокруг оси y на угол β; б) вид «сверху» на эти повороты
Возможность поворота плоскости вращения вокруг оси y увеличивает число вариантов выбора числа эпициклов – его можно было принять дробным на один дифферент, лишь бы на общее их число при поворотах вокруг оси y было целым. Иными словами, максимальное число kα не должно лишь превышать kβ.
Ясно, что все орбиты заряда m отличаются друг от друга цедым числом эпициклов.Для того, чтобы установить,как при этом различаются радиусы орбит r0, кинетическая, потенциальная и общая энергия заряда, определим момент его импульса по эпициклу.
На рис.11.7 дано увеличенное изображение эпицикла. При движении заряда от точки 1 до точки 2 его действие d относительно центра М изменится на величину:
d=mΔvr Δr =m(vэ - 0)(ρ – 0)=mvэρ=Lэ (11.11,а)
где Lэ – момент импульса заряда m.
Далее, при лвижении заряда m от точки 2 до точки 3 действие меняется на величину:
m(0 – vэ)(ρ – 0)= – mvэ ρ= –Lэ.
Рис. 11.7. К определению момента количества движения заряда m
Нетрудно заметить, что при перемещении заряда от точки 1 до точки 3 его действие сначала возрастает от 0 до Lэ, азатем уменьшается до нуля.Далее, при двидении этого заряда от точки 3 до 1 такое изменение действия, как нетрудно проверить, повторяется. Поскольку, как отмечалось выше, заряд то входит в «поле зрения» центра М, то исчезает, максимальное значение действия d, а, следовательно, и момента импульса Lэ равно постоянной Планка h:
Lэ =h, (11.11,б)
В силу закона сохранения момента импульса, при переходе от орбиты, содержащей максимальное число n эпициклов к орбите с числом (n+1) эпицикл момент импульса движения заряда m по дифференту возрастёт на h (как видно на рисунке 11.7, поворот заряда по дифференту направлен в сторону, противоположную его вращению по эпициклу). Следовательно, момент орбитального импульса при (n+1) эпициклах отличается от момента импульса при n эпициклах на величину h:
mvn+1rn+1 –mvnrn =h.
Следовательно, момент орбитального импульса заряда m равен целому числу h:
mvr =nh. (11.11,в)
Согласно (11.10,б и в) получаем дискретные значения r,WΣ:
r =4πε0 h2 n2/mq1q2; WΣ = h2n2/2mr; (11.11,г)
Число n называется радиальным квантовым числом. Судяпо сказанному выше, это число обязательно должно быть больше kα.max или,что тоже самое, kβ:
kβ < n. (11.11,д)
Всё сказанное выше о траектории движения заряда m справедливо только при условии, что точно известна точка начала движения заряда y0 (см. рис. 11.3,а). Однако, в силу принципа неопределённости, заряд может начать двигаться в любой другой точке. Поэтому точной траектории движения заряда m установить нельзя. Но все другие характеристики, выведенные выше, распространяются на все эти траектории. В частности,
| kα| ≤ kβ < n (11.12)
Те же самые соотношения можно получить,воспользовашись математическим формализмом, основанным на уравнеиии Шредингера (11.3,в).Для этого нужно, преобразовать его к сферическим координатам (см. рис.11.6,а).
(11.13,а)
Согласно [5] в сферических координатах (r,α, β):
(11.13,б)
где
(11.13,в)
Несмотря на кажущуюся сложность записи 
, решение уравнения (11.13,а) с учетом (11.13,б,в) ищется в достаточно простом виде:
(11.13,г)
где А - нормировочный коэффициент, Ψr, Ψβ и Ψα, - функции соответственно только от r, и β, α. Подставляя (11.13,б,в,г) в (11.13,а), получаем
(11.13,д)
Из (11.13,д) следует, что уравнение Шредингера в сферических координатах превратилось в три независимых друг от друга уравнения от α, β, r:
(11.14,а)
(11.14,б,в)
Столь сложная запись постоянных 
и 
в правой части выражений (11.14,б и в) связана с удобством их дальнейшего использования. Выражение (11.14,в) можно записать в виде обычного волнового уравнения:
решение, которого имеет вид:
(11.14,г)
Из требования однозначности решения вытекает то обстоятельство, что 
-целое число (Κα=0,±1;±2;…), именуемое магнитным квантовым числом [11]. Амплитуда Ψαm вычисляется, исходя из обычного требования (см.§ 11.2) равенства единице интеграла Ψ 2 
по всем значениям α:
═> 
Выражение (11.14,б) с учетом (11.14,г) имеет вид:
откуда получаем
(11.14,д)
где 
является присоединенной функцией Лежандра[5].
Амплитуда Ψβm вычисляется также, как и Ψαm, исходя из условия, что интеграл 
при изменении β в пределах от 0 до π равен единице. Опуская промежуточные выкладки, получаем [11]:
(11.14,е)
Из теории сферических функций [5] следует, что 
- целое положительное число (
=0,1,2,…), а
(11.14,ж)
Величина 
именуется азимутальным квантовым числом.
И, наконец, для определения зависимости распределении вероятности нахождении точки m от радиуса r преобразуем выражение (11.14,а):
Это уравнение также решается с применением сферических функций [5]. В данном случае используются полиномы Лагерра
где 
(11.14,з)
После довольно громоздких, но непринципиальных промежуточных выкладок получаем
(11.14,и)
где n целое число, именуемое радиальным квантовым числом, иногда – главным квантовым числом(n=1,2,…, Kβ=0,1,…, n -1).
Как видим, у функции 
несколько кратных n решений. Каждому из этих решений соответствует свое дискретное значение суммарной энергии
(11.15)
В том случае, когда 
отличается от какого-либо из этих значений, частица m излучает в виде электромагнитной волны избыток энергии до ближайшего меньшего по формуле (11.15). После этого она оказывается «размазанной» в пространстве в соответствии с значениями Ψα, Ψβ и Ψr. О том, как двигается частица m в пределах соответствующего участка пространства, точно сказать невозможно. Скорее всего, это хаотическое блуждание, в результате которого образуется облако с распределенной внутри него массой и зарядом.
Вопросы по одиннадцатой главе:
1. Почему в микромире возникает неопределенности при измерении положения (координат) частиц и их скоростей?
2. Сформулируйте принцип неопределенности.
3. Что такое волна вероятности?
4. Что такое волновой пакет?
5. Где в пространстве находится частица, двигающаяся с постоянной скоростью?
6. Сформулируйте уравнение Шредингера в ортогональных координатах.
7. Запишите уравнения Шредингера в сферических координатах.
8. Что такое магнитное, орбитальное и главное квантовое число?
9. Отличается ли энергия электронов, имеющих одинаковое главное квантовое число, но разные магнитные и орбитальные числа?
10. Сколько электронов в атоме имеют одинаковые все квантовые числа?
11. Как объяснить физически, почему электроны в атоме располагаются на строго определённых, заранее заданных орбиталях?
Поиск по сайту: