|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Геометрическая интерпретация задачи линейного программированияКаждой паре чисел х 1 и х 2 поставим в соответствие точку плоскости (2-мерного пространства) с координатами х 1 и х 2, тогда каждое ограничение (П.1) задает полупространство, а вся система (П.1) определяет многоугольник (в n -мерном пространстве – многогранник), полученный в результате их пересечения. В общем случае многогранник может быть неограниченным или пустым (система неравенств противоречива). В примере П.1 множество допустимых планов соответствует на плоскости множеству точек многоугольника OABCD (рис. П.1.). Целевая функция F=5 х 1 + 6 х 2 определяет на плоскости семейство прямых линий (в n -мерном пространстве – плоскостей), параллельных друг другу, причем, чем дальше прямая от точки О, тем большее значение принимает целевая функция. Таким образом, оптимальное решение будет в точке многоугольника OABCD, где целевая функция касается этого многоугольника при удалении от точки О.
O Рис.П.1. Графическое представление задачи П.1. х 1
В нашем примере это будет вершина многоугольника С с координатами (примерно) х 1=4.5; х 2=3. Для точного определения координат точки С рассмотрим уравнения прямых, пересечение которых ее образовало. Получаем систему из двух уравнений: 2 х 1 + 1 х 2 = 12, 2 х 1 + 3 х 2 = 18, решив которую получим точные значения х 1=4.5; х 2=3. Метод решения системы линейных уравнений может быть использован любой, однако, в целях сокращения объема вычислений при дальнейшем изложении предлагается метод Крамера. Напомним кратко его суть: Для решения системы a 11 х 1 + a 12 х 2 = b 1, a 21 х 1 + a 22 х 2 = b 2, вычисляем D = a 11 a 22 - a 12 a 21, D1 = b 1 a 22 - a 12 b 2, D2 = a 11 b 2 - b 1 a 21, и затем х 1 = D1 / D; х 2 = D2 / D. В нашем примере: D=2´3 – 1´2 = 4, D1 = 12´3 – 1´18 = 18, D2 = 2 ´18 – 12 ´2 = 12, откуда х 1 = 18/4 = 4.5, х 2 = 12/4 = 3 (совпало с первоначальным приближением). Вычислим значение целевой функции в точке С: F = 5 ´ 4.5 + 6 ´3 = 40.5. Таким образом мы решили поставленную задачу, нашли объемы производства х 1 первого и х 2 второго вида продукции, удовлетворяющие ограничениям (П.1) и доставляющие максимальное значение целевой функции F = 40.5 усл.ед. Пример П.2. Рассмотрим еще одну задачу (ее часто называют задачей о диете, хотя аналогичной математической моделью можно описывать задачи, ничего общего с диетой не имеющие). Таблица П.2
Под нормативом понимается необходимый минимум питательных веществ суточного рациона. В этой задаче необходимо найти такие объемы кормов х 1, х 2, чтобы обеспечить содержание в них кормовых единиц, белка и кальция не менее нормативного при минимальной стоимости. Опять же предполагая, что количество полезных веществ, а также стоимость пропорциональны объемам кормов, получаем следующую математическую модель задачи: (I) 0.5 х 1 + 1 х 2 ³ 20 (II) 50 х 1 + 200 х 2 ³ 2000 (III) 10 х 1 + 2 х 2 ³ 100 (П.2) х 1 ³ 0, х 2 ³ 0, F =1.5 х 1 + 2.5 х 2® min. Геометрическую интерпретацию данной задачи приведем на рис.П.2.
5 10 15 20 25 30 35 40 х 1 Рис.П.2. Графическое представление задачи П.2 В данном случае множество допустимых планов представляет собой неограниченный многоугольник, заштрихованный на рис.П.2. Целевая функция принимает наименьшее значение в точке В. Визуально на графике координаты этой точки х 1 @ 7, х 2 @ 17. Сделаем аналитическую проверку: D=0.5´2 – 1´10 = –9, D1 = 20´2 – 1´100 = –60, D2 = 0.5 ´100 – 20 ´10 = –150. Откуда х 1 = –60 / –9 = 6.67, х 2 = –150 / –9 = 16.67. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |