АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Рісса-Фішера

Читайте также:
  1. Вихревой характер магнитного поля. Теорема Ампера о циркуляции индукции магнитного поля в дифференциаль-ной и интегральной форме для магнитных полей в вакууме.
  2. Гільбертовий простір. Теорема про ізоморфізм.
  3. ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события.
  4. ІІ. СУМІЖНІ КЛАСИ. ТЕОРЕМА ЛАНГРАНЖА.
  5. Корректные и некорректные декомпозиции отношений. Теорема Хита (с доказательством). Минимально зависимые атрибуты.
  6. Момент инерции. Теорема Штейнера.
  7. Основная теорема безопасности Белла — Лападулы
  8. Основная теорема зубчатого зацепления
  9. Принцип вкладених куль. Теорема Бера.
  10. Спектральная теорема
  11. Теорема
  12. Теорема

Лекція 9

 

 

Тема: " Гільбертові простори. Теорема Рісса-Фішера. Ізоморфізм гільбертових просторів."

 

Дисципліна: "Функціональний аналіз".

 

 

Викладач Гусарова І.Г.

Харків,2014

Тема: Гільбертові простори. Теорема Рісса-Фішера. Ізоморфізм гільбертових просторів.

Теорема Рісса-Фішера.

Нехай – повний сепарабельний евклідовий простір та деяка ортогональна нормована система в (не обов'язково повна). З нерівності Бесселя слідує, що для того щоб числа , були коефіцієнтами Фур'є якого-небудь елемента , необхідно, щоб ряд

(1)

був збіжним. У повному метричному просторі ця умова не тільки необхідна але і достатня. Справедлива наступна теорема.

Теорема1 (Рісса-Фішера): Нехай - довільна ортогональна нормована система у повному евклідовому просторі і нехай числа , такі, що ряд

збіжний. Тоді існує такий елемент , що

та

Доведення. Покладемо

(2)

Тоді

Тому що ряд збігається, то звідси в силу повноти слідує збіжність послідовності до деякого елемента

Далі

(3)

причому перший доданок справа при дорівнює (з (2) та того, що - ортонормована система), а друге прямує до нуля при , тому що

.

Ліва частина рівності (3) від не залежить, тому, переходячи у ньому до границі при , отримаємо, що .

Тому що, за означенням ,

при ,

то

Дійсно, покажемо це:

при , отже

Теорема2. Для того, щоб ортогональна нормована система в повному сепарабельному евклідовому просторі була повною, необхідно та достатньо, щоб в не існувало ненульового елемента, ортогонального всім елементам системи .

Доведення. 1. Нехай система - повна, та, звідси, замкнена. Якщо ортогональний всім елементам системи , тоді всі його коефіцієнти Фур'є рівні нулю. Тоді з рівності Парсеваля отримуємо

тобто .

2. Обернено, нехай - не повна. Тоді в існує такий елемент , що де . За теоремою Рісcа - Фішера існує такий елемент , що

тоді .

Елемент ортогональний всім . Із нерівності

слідує, що .

Теорему доведено.


1 | 2 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)