АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Принцип вкладених куль. Теорема Бера

Читайте также:
  1. CAC/RCP 1-1969, Rev. 4-2003 «Общие принципы гигиены пищевых продуктов»
  2. Cхема электрическая принципиальная блока ТУ-16. Назначение, принцип действия.
  3. Hарушение юридических принципов
  4. I. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КПРФ, ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ ПАРТИИ
  5. II. Общие принципы построения и функционирования современных бизнес-структур
  6. o принцип. защиты окружающей среды на благо нынешних и будущих поколений
  7. P-N переход принцип работы полупроводникового диода.
  8. V. Несколько принципиальных соображений
  9. VI. Література періоду принципату
  10. А) співмірності поділу; б) єдиного принципу поділу; в) взаємовиключення членів поділу; г) безперервності поділу.
  11. Административная ответственность как вид административного принуждения. Применение административной ответственности, ее цели, принципы и последствия.
  12. АЙКИДО - ИЗУЧЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ

Теорема(про вкладені кулі): Для того, щоб метричний простір R був повним, необхідно і достатньо, щоб в ньому всіляка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.

Доведення.

Н е о б х і д н і с т ь.Нехай простірR повний, і нехай послідовність вкладених одна в одну куль. Нехай - радіус, а - центр кулі . Послідовність центрів фундаментальна, оскільки при m>n, а при . Оскільки R повний, то існує. Візьмемо ; тоді . Дійсно, куля містить всі точки послідовності , за виключенням, можливо, точок . Таким чином, x – точка дотику для кожної кулі . Але те що - замкнена, для всіх n.

Д о с т а т н і с т ь.Нехай - фундаментальна послідовність. Доведемо, що вона має границю. За фундаментальністю можна взяти таку точку нашої послідовності, що для всіх . Приймемо точку за центр замкненої кулі радіуса 1. Позначимо цю кулю . Візьмемо після цього з так, щоб було і для всіх . Приймемо точку за центр кулі радіуса і позначимо цю кулю . Взагалі, якщо точки вже вибрані , то виберемо точку так, щоб було і при всіх і оточимо її замкненим колом радіуса . Продовжуючи процес, одержимо послідовність замкнених куль , вкладених одна в одну, причому куля має радіус . Ця послідовність за припущенням має спільну точку; позначимо її х. Ясно,що вона являє собою границю послідовності . Але якщо фундаментальна послідовність містить підпослідовність,що збігається до х, то вона сама збігається до х. Таким чином, .

В теоріїповних метричних просторів фундаментальну роль виконує теорема Бера.

Теорема Бера. Повний метричний простір можна зобразити у вигляді об’єднання зліченного числа ніде ні щільних множин.

Доведення.Припустимо супротивне. Нехай , де кожна з множин ніде не щільна. Нехай - деяка замкнена куля радіуса 1. Оскільки множина ніде не щільна, вона не щільна в , існує замкнена куля радіуса меншого за така, що і . Оскільки множина не щільна в з тієї ж причини в кулі міститься замкнена куля радіуса меншого за , для якої і таке інше. Ми одержимо послідовність вкладених одна в одну замкнених куль , радіуси яких прямують до нуля, і . За теоремою про вкладені кулі перетин містить деяку точку х. Ця точка за побудовою не належить жодній з множин , звідси , тобто .

3. Принцип стиснутих відображень.

Надо дополнить текст применением. Взять У меня!!

 

 


1 | 2 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)