Означення і приклади повних метричних просторів. Тема: Повні метричні простори

Тема: Повні метричні простори.

Означення: Послідовність точок метричного простору R називається фундаментальною, якщо вона задовольняє критерію Коші, тобто, якщо для будь-якого існує таке число , що для всіх . Твердження: Будь-яка збіжна послідовність фундаментальна.

Доведення.Фундаментальність послідовності безпосередньо випливає з аксіоми трикутника. Дійсно, якщо збігається до x, то для даного можна знайти таке число , що для всіх . Тоді для всіх .

Означення: Простір R називається повним, якщо всіляка фундаментальна послідовність збігається в ньому, або інакше будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною і її границя належить цьому простору.

П р и к л а д и:

Всі простори, що розглянуті в розділі “Метричні простори” крім є повними.

1. У просторі ізольованих точок фундаментальними будуть тільки стаціонарні послідовності (такі, в яких елементи всі однакові, або такі, в яких починаючи з деякого номера, всі елементи однакові). Кожна така послідовність, звичайно, збіжна і границя (яка сама являє собою елемент простору), звичайно, належить просторові.

2. Повнота евклідового простору - відома з аналізу (там, де доводиться критерій Коші).

3. Повнота евклідового простору безпосередньо випливає з повноти .

Дійсно, нехай - фундаментальна послідовність точок з ; це означає, що для будь-якого знайдеться таке N= , що

для всіх p, q>N. Тут . Тоді для кожного k=1,…,n маємо відповідну нерівність для координати для всіх p, q>N, тобто - фундаментальна послідовність. Взявши і , очевидно отримаємо, що .

4. та 5. Повнота просторів і доводиться аналогічно.

6. Доведемо повноту . Нехай - деяка фундаментальна послідовність в . Це означає, що для будь-якого існує таке N, що при m, n>N для всіх t, . Звідси послідовність рівномірно збіжна і за теоремою Вейєрштраса її границею буде неперервна функція . Якщо m в потрібній нерівності буде прямувати до нескінченності, одержимо для всіх t і для всіх n>N, а це означає, що збігається до x(t) по метриці простору .

7. Простір . Нехай - фундаментальна послідовність в . Це означає, що для будь-якого існує таке N, що

, для n, m>N. (1)

Тут . З (1) випливає, що при будь-якому k

,

тобто при кожному k послідовність дійсних чисел фундаментальна і тому збіжна в . Приймемо .

Позначимо через x послідовність (). Доведемо, що

а) , тобто x ;

б) .

З нерівності (1) випливає, що для будь-якого фіксованого M

.

В цій сумі тільки скінченне число доданків, і можна, зафіксувавши n, перейти до границі при . Одержимо

.

Нерівність вірна при будь-якому . Перейшовши до границі, якщо , одержимо

. (2) Із збіжності рядів і витікає збіжність ряду (з елементарної нерівності , тобто твердження а) доведене. Оскільки достатньо мале, то нерівність (2) означає, що ,

тобто в метриці . Твердження б) доведене.

8. Простір - не повний. Розглянемо послідовність неперервних функцій

Вона фундаментальна в , бо

Але вона не збіжна ні до якої функції з . Дійсно, нехай f – деяка функція з і - розривна функція, рівна -1 при t<0 і 1 при t 0. За інтегральною нерівністю Мінковського, маємо

З неперервності функції f(t) інтеграл в лівій частині відмінний від нуля.

Далі .

Тому не може збігатись до нуля при n, що прямує до нескінченності.

Поиск по сайту: