І. ОЗНАЧЕННЯ ТА ПРИКЛАДИ ПІДГРУП

Досі ми говорили про групи взагалі і не цікавились їх будовою та частинами, яких вони складаються.Одначе, вивчення структури групи, зокрема, їх підмножини представляє значний інтерес. Серед усіх підмножин групи G особливо виділяються ті множини, які самі є групами відносно операції, заданої в G, такі підмножини називаються підгрупами,їх вивчення ми і ознайомимось зараз.

Означення 1. Підмножина Н групи G, яка сама є групою відносно операції, заданої в G, називається підгрупою групи G.

Оскільки групова операція, будучи асоціативною на всій групі G, є асоціативною і на всякій підмножині групи G, та одиничний елемент групи G єдиний, то означення 1 безпосередньо виходить, що підмножина Н групи G є підгрупою тоді і тільки тоді, коли справджуються такі умови:

1) () :ab

2) Одиничний елемент е групи G належить підмножині Н,

3) ():

Зауважимо, що умова 2) є наслідком умов 1) і 3). Справді, якщо не порожня підмножина Н групи G задовольняє умови 1) і 3), то разом із довільним своїм елементом а підмножини Н містить (умова 3) і елемент (умова 1).

Отже, одиничний елемент е Н. Т.ч., справедливий такий критерій.

Теорема 1. Підмножина Н групи G є підмножиною групи G тоді і тільки тоді, коли

а) (): ab ;

b) (): .

Приклад 1. Група є підгрупою групи , остання є підгрупою групи , а ця в свою чергу є підгрупою групи . В цьому легко переконатись перевіряючи умови a) та b) теореми 1.

2. Множина всіх комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1, є підгрупою групи , де — множина комплексних чисел відмінних від нуля.

Справді, оскільки модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів, добуток двох чисел із належить Крім того, якщо z , то z і, значить існує , причому = = , тобто .

Множина P_n всіх парних підстановок є підгрупою симетричної групи .

Справді для ():( розкладаються в парне число транспозицій. Крім того, як відомо, підстановка, обернена до парної,є парною.

Отже, є підгрупою симетричної групи . Підгрупа називається знакозмінною групою n -го степення. З деякими іншими групами підстановок ми ознайомились на практичних заняттях.

ІІ. ПІДГРУПИ ДОВІЛЬНОЇ ГРУПИ.ЦИКЛІЧНІ ПІДГРУПИ.

Вище були наведені приклади підгруп в конкретних групах. В цьому пункті будуть вказані підгрупи довільної групи, детально зупинимося на так званих циклічних підгрупах.

1. Тривіальні підгрупи. Якщо в групі G взяти підмножину , що складається з одного одиничного елемента е, то вона є підгрупою G, бо e × e=e і e ^-1= е. Ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи G.

Очевидно також, що вся група G є підгрупою самої себе. Підгрупи та G називаються тривіальними підгрупами групи G. Якщо група G відмінна від одиничної групи , то в ній підгрупи, відмінні від і G, які називаються нетривіальними.

2. Перетин підгруп. Якщо H ₁ і H ₂ —підгрупи групи G, то їх перетин Н = H ₁ H ₂ теж є підгрупою групи G.

Дійсно, якщо , то і . Оскільки і —підгрупи, то внаслідок умови а) теореми 1 і , звідки =Н. Аналогічно якщо = і і на підставі того, що і —підгрупи , і (умова b теореми 1), тобто . Т.ч., підмножина Н G задовольняє умовам теореми 1, і, значить є підгрупою.

3. Циклічна підгрупа. Нехай а – довільний елемент групи G і (а)= – сукупність всіх степенів елемента а з цілими показниками. Множина (а) є підгрупою групи G. Справді для (: = і для (: (а). Елементи є степенями елемента а і тому належить (а). Таким чином, множина (а) задовольняє умовам теореми 1 і тому є підгрупою групи G. Ця підгрупа називається циклічною підгрупою, породженою елементом (а).

Означення 2. Сукупність всіх степенів елемента a , де G – довільна група з цілими показниками називається циклічною підгрупою групи Г, породженою елементом a і позначається (a).

Нехай G – група і а – довільний її елемент.

Тоді можуть мати місце такі випадки:

1) Будь-які два степені елемента а при різних показниках не рівні, тобто

(.

Елемент а при цьому називається елементом нескінченного порядку. Наприклад, число 2, в групі є елементом нескінченного порядку: .

Зрозуміло, що циклічна група (2), породжена елементом 2, є в даному випадку нескінченою.

Існують такі , що . Якщо для означеності прийняти , то матимемо =1, причому натуральне число. Отже в даномувипадку існують такі натуральні числа s, що a^s = е. Найменше з чисел s, таких що a^s =е, називається порядком елемента a. Точніше, якщо(s N): a^s = е, що елемент а називається елементом скінченного порядку, а саме порядку n, якщо найменше з чисел s, таких що a^s = е.

Для прикладу візьмемо число (уявна одиниця) в групі < ,·> і розглянемо його степені. Матимемо: i⁰

i ⁰=1, і, i ²= -1, i ³= -1, i ⁴=1, i⁵ =і, i ⁶= -1, i ⁷= -1, i ⁸=1,…

Як бачимо, існують натуральні числа s, а саме s =4,8,…, при яких i^s =1. Найменшим з них є 4. Отже, і – число порядку 4.

Циклічна підгрупа (і), породжена елементом і, є скінченною – має 4 різні числа 1, i,-1,- i. Отже, її порядок (кількість елементів) співпадає з порядком породжуючого числа i.

Тільки що наведені два приклади дозволяють сподіватися, що справедливим є таке твердження:

Теорема 2. Порядок циклічної підгрупи (а) групи G співпадає з порядком породжую чого її елемента а.

Доведення. Якщо елемент а є елементом нескінченного порядку, тобто при різних показниках степені елемента а різні, то підгрупа (а) містить безліч різних елементів, тобто її порядок теж нескінченний.

Нехай тепер елемент а має скінченний порядок n. Треба довести, що кількість елементів в групі (a) дорівнює n. З цією метою з підгрупи

(а)={… …, }.

Виберемо елементи …, і покажемо, що 1)всі елементи системи (1) різні, 2) будь-який інший елемент , (m≠0,1,2,…,n-1) підгрупи (a) співпадає з деякими елементами системи(1).

Щоб довести, що будь-які два елементи системи (1) різні, припустимо,що деякі з цих елементів співпадають,тобто, припустимо,що

,(0≤k≤m≤n-1)

Домноживши останню рівність справа на матимемо

Оскільки 0<m-k<n, то остання рівність означає, що знайшлося натуральне число s=m-k<n, при якому =е. Останнє не можливе, бо а- елемент n-го порядку. Отже всі елементи системи (1) різні.

Нехай тепер ,(m≠0,1,2,…,n-1)- довільний елемент, що не ввійшов в систему (1). За теоремою про ділення з остачею ми матимемо,що

()(m=nq+r)^(0≤ r<n).

Тоді = * = =e* .

Отже, , 0≤r<n, тобто елемент співпадає з котримось з елементів системи (1).

Таким чином ми показали, що в підгрупі (a) є n різних елементів …, і це означає, що Or(a)=n=Or a.

III.ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ.

Є випадки, коли вся група G співпадає із деякою із своїх циклічних підгруп, тобто із сукупністю всіх степенів з цілими показниками деякого із своїх елементів а. Така група називається циклічною, елемент а- її твірним елементом.

Приклади. 1. Мультиплікативна група K_n всіх коренів n -го степеня з 1 є циклічною. Справді, група K_n складається з чисел

+isin (k=0,1,2,…,n-1). Очевидно, що на підставі формули Муавра (k=0,1,2,…,n-1).

2. Адитивна група є циклічною.

Пригадаємо, що у випадку адитивної групи замість n -го степеня елемента а, розглядають елемент, n -кратний a, na = . Тоді

: n=

Цеозначає,що - циклічнаітвірнимелементомїїє 1, тобто Z=(1).

Характерно властивістю циклічних груп є те, що можна легко описати всі їх підгрупи.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення. Нехай G =(а)- циклічна група з твірним елементом а і Н - довільна її підгрупа. Треба довести, що Н - циклічна підгрупа.

Внаслідок того, що кожен елемент групи G є степенем елемента. Всі елементи підгрупи Н є теж степенями елемента а. Зауважимо, що коли Н - тривіальна група, то вона, очевидно,циклічна, а якщо Н - нетривіальна група, то серед її елементів обов’язково є степінь з натуральним показником. Дійсно, Н містить елемент з натуральним показником. Якщо k <0, то = Н і знову Н містить степінь a з натуральним показником – k. Таким чином, всіх степенів елемента a з натуральними показниками, які належать підгрупі Н, непорожня. Оскільки всяка підмножина множини натуральних чисел має найменше число, то і серед натуральних показників степенів елемента a, які належать підгрупі Н, є найменший показник

Покажемо, що елемент є породжуючим елементом підгрупи Н. Для цього візьмемо довільний елемент підгрупи Н і на підставі теореми про ділення з остачею запишемо співвідношення k = , де q, r Z і 0≤ r < зокрема, r = k - . Тоді . Якщо – q >0, то . Н, як добуток елемента самого на себе –q раз, якщо – q =0,то = e Н, якщо ж – q <0, то = і знову належить Н, як добуток елемента оберненого амого на себе |- q | раз. Оскільки Н, то Н, як добуток елементів є Н. Якби r то в силу нерівності r < в Н знайшовся би елемент із натуральним показником, меншим за k ₀, що суперечить вибору . Отже, r =0. Тоді k= Внаслідок довільності елемента

Поиск по сайту: