Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

Означення. Область цілісності з , кожен ідеал якої є головним називається кільцем головних ідеалів.

Приклад. Кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Дійсно, нехай — довільний ідеал кільця . Якщо то . Тому вважатимемо, що . Тоді .

Внаслідок того, що — підкільце, то . Це означає, в кожному ідеалі є натуральне число. Нехай – найменше з усіх натуральних чисел ідеалу . За теоремою про ділення з остачею

Згідно з другою умовою з означення ідеалу , а згідно з першою . Це означає, що коли було б то в існувало б натуральне число , менше за .Тому і, отже, . Таким чином,

: ,

тобто ідеал – головний, .

Означення. Область цілісності з називається евклідовим кільцем, якщо всякому її елементу поставлено у відповідність натуральне число так, що

причому

Приклад. Кільце цілих чисел є евклідовим кільцем.

Справді, за теоремою про ділення з остачею

(1)

якщо то і значить,

, .

Останні співвідношення можна переписати так:

(2)

Із формул (1) і (2) виходить:

Це означає, що коли кожному ненульовому цілому числу поставити у відповідність його абсолютну величину, тобто покласти , то кільце стає евклідовим кільцем.

Теорема 2. Всяке евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Доведення. Треба довести, що всякий ідеал є головним, якщо , то — головний ідеал, породжений нулем. Якщо , то кожному його ненулевому елементові а поставлено у відповідність натуральне число , тобто ідеал співвіднесений з підмножиною множини натуральних чисел. В є найменше число . Інакше кажучи, в існує елемент такий, що

Очевидно, що . Покажемо: що і навпаки , звідси випливатиме потрібна рівність .

За означенням евклідового кільця

На підставі другої умови з означення ідеалу , а на підставі першої – елемент . Якби , то , що суперечить вибору елемента . Тому і, значить, , тобто, . Теорема доведена.

Подільність в областях цілісності з одиницею.

На області цілісності з одиницею вдається розповсюдити багато відомих ефектів теорії подільності в кільці цілих чисел.

Нехай - область цілісності з 1. Говорять, що елемент ділиться на елемент , , якщо

Елемент називають дільником і записують . Якщо то елементи а, b K називаються дільниками 1кільця K. З рівності виходить, що і взаємно обернені. Отже, кожен дільник одиниці має обернений елемент. Навпаки, якщо для елемента існує обернений елемент , та і, значить, - дільник одиниці. В множині цілих чисел дільниками 1 є числа 1 і -1: =(-1) (-1)=1.

Зауважимо, що сукупність усіх дільників 1 утворює мультиплікативну групу. Цю групу дільників називають мультиплікативною групою кільця К.

Справді, якщо і деякі дільники 1,то(, ): = =1 Тоді

()()=() ()=1*1=1 тобто, - дільник 1.

Виконання аксіом групи очевидне. Відзначимо, що всякий дільник одиниці є дільником довільного елемента а К, бо

а = а 1=а( = (а )

Елементи а, b К називається асоційовними, якщо а є дільником b і b – дільником а, тобто, якщо

З цих рівностей виходить, що а = а(dc) і. Значить dc=1, тобто d і c –дільники 1. Таким чином, асоційовні елементи відрізняються тільки дільниками 1.

Елементи а ≠ 0 і з кільця К називається незвідним, якщо він не є дільником 1, і якщо із рівності а = bc(b,c К) випливає, що b або с – дільники 1. Як бачимо, незвідний елемент, дільниками якого, попри дільників 1,є тільки елементи, асоційовні з ним. В кільці цілих чисел дільниками 1 є тільки 1,–1, тому незвідні елементи — це числа, що діляться тільки на себе і на , тобто, це прості числа і ті від’ємні, абсолютні величини яких прості.

Елемент d К називається найбільшим спільним дільником елементів а,b К, d=(a,d), якщо

1. a d, b d

2. : (

Теорема 1. Для всяких одночасно не рівних нулю елементів а, b із кільця К головних ідеалів існує їх найбільший спільний дільник d К, який належить ідеалу, породженому елементами а і b, тобто,

, К: d=а +b

Доведення. Розглянемо ідеал І = { ax+by| x, y К } породжений елементами а i b. Оскільки кожен ідеал в К є головним, то існує елемент d І такий, що І=(d). Породжуючий елемент d цього ідеалу І є дільником всякого його елемента.

Відзначимо, що найбільший спільний дільник елементів a, b Î K визначається неоднозначно: якщо d=(a,b), то ed=(a,b), де e – довільний дільник одиниці.

Теорема 2. Якщо р – незвідний елемент кільця головних ідеалів К і елементів a, b ÎK є таким, що р/ab, то р/а або р/b.

Доведення. Нехай р не є дільником а, і нехай d=(a, р). Покажемо, що d – дільник 1. Справді, якщо d не був дільником 1, то внаслідок незвідності елемента р подільності р d ми мали б: р=ed,

де e - деякий дільник 1.Тоді d =р e^-1 і, в силу подільності а d, а= р(e^-1, с)(сÎK), що суперечить припущенню а р. Отже, d – дільник 1. d=e.

Оскільки e=(a, р), то за теоремою 1

($ x₀, y₀ Î K): e = ax₀+р y₀

Помножимо цю рівність на b, матимемо

eq=(ab)x₀+р(y₀b).

Оскільки за умовою ab і р, то обидва доданки правої частини діляться на р і, значить, eb і р, тобто $ qÎK: eb= pq або інакше b= р(e^-1q), що означає b р.

Таким чином, якщо ab р і один з співмножників не ділиться на р, то другий обов’язково ділиться на р.

Елементи р₁,р₂,…,р_n такі, що

а=eр₁р₂…р_n /2/

причому в двох таких розкладах

а=eр₁р₂…р_n а=e’q₁q₂…q₃

r= 1 та існуютьтакі дільники одиниці e₁e₂…e _r,що можливо після перестановки індексів, р_і=e_іq_і (і=1,2,…, r).

Лема 1. В кльці К головних ідеалів не існує нескінченного строго зростаючого ланцюжка ідеалів.

(а ₁)Ì(а₂)Ì…Ì(а_n)Ì… /3/

Доведення. Нехай ми маємо деяку строго зростаючий ланцюжок ідеалів (3) і І= -обєднання всіх ідеалів цього ланцюжка.

Пересвідчимося в тому, що множина І є ідеалом.

Виконання першої умови з означення ідеалу випливає з того, що коли a, b ÎI, тобто a, b Î , то ($n, m):(а Î (а_n))Ç(bÎ(а_m)),

Нехай для означеності n m. Тоді (а_n)<(a_m) і, значить, a, bÎ (а_m). Оскільки (a_m) – ідеал, то а–bÎ(а_m), внаслідок чого а-bÎ =І. Якщо, крім того, kÎ І

То аk Î (а_n) тобто, виконується і друга умова з означення ідеалу.

Оскільки в кільці К кожен ідеал головний, то ($ c ÎI) I =(с).Породжуючий елемент с ідеалу І належить І = і, значить, в котромусь з ідеалів , c Î (а₁). Тоді І =(с)Ì (а₁), але і І – об’єднання всіх ідеалів (а _і), тому (а₁) Ì І. Із включень І Ì (а₁) і (а₁) Ì І виходить, що І=(а₁), це і означає, що (а₁) – останній ідеал ланцюжка (3), чим лема доведена.

Лема 2. Головні ідеали (a) i (b) кільця К тоді і тільки тоді співпадають коли (a) i (b)асоційовані.

Доведення. Якщо (a) =(b), то а Î (b), b Î (a), внаслідок чого $ k₁, k₂ÎZ: а=bk₁, b= аk₂, що і означає асоційованість елементів a i b.

Навпаки, нехай елементи a i b асоційовані, тобто а=be, де e - дільник І. Тоді ("а₁Î (а))($k₁Î К): а=аk₁

Значить, а₁=b(ek₁), внаслідок чого а₁Î (b). Звідси виходить, що (a)Ì(b). Аналогічно (b)Ì(а). Таким чином, (a) =(b).

Будемо допускати, що в роскладі (2) індекс r приймати і значення 0. Тим самим домовимося вважати, що всякий дільник І на розкладі не незвідний елемент.

Теорема 3. (Основна теорема теорії кілець головних ідеалів). Всякий не нульовий елемент кільця К головних ідеалів допускає одночасний розклад на незвідні елементи.

Доведення.

І. Доведемо спочатку, що для кожного елемента із кільця К існує розклад на незвідні елементи, тобто, що кожен елемент із К можна подати у вигляді (2)

Нехай а≠0 – довільний елемент із К. Оскільки деякий дільник І є дільником і елемента а, то а завжди можна подати у вигляді

a = bc (bc Î K) (4)

Якщо із цього подання виходить, що b або с дільники І, то а є або дільником І або незвідним елементом і подання (4) треба розглядати як розклад елемента а на незвідні елементи.

Якщо у формулі (4) b і с – не дільники І, то до них можна застосувати ті ж міркування, які були застосовані до а. В результаті одержимо

b=b₁b₂, с=с₁с₂ (b₁, b₂, с₁, с₂ Î К)

і, значить,

а=b₁b₂с₁с₂

Можливі два випадки: 1) кожен з множників b₁, b₂, с₁, с₂ є або, дільником І або незвідним елементом. 2) серед елементів b₁, b₂, с₁, с₂ принаймі один не є ні дільником І, ні незвідним елементом. В першому випадку для елемента а справедливий розклад (2), в другому – наші міркування треба застосувати до тих із елементів b₁, b₂, с₁, с₂ які не є ні дільниками І ні незвідними елементами.

Міркуючи таким способом дальше, після певного числа кроків дістанемо

а=eа₁а₂…а_n, (5)

де e - дільник І і а₁,а₂,…,а_n, - не дільники І запровадимо позначення а₁^’=а₂…а_n, а₂^’=а₂…а_n, а_n1^’=а_n.

Тоді а=(eа₁)а₁^’а₁^’=а₂а₂^’а_n^’=а_n-1а_n-1

Внаслідок чого справедливе включення

(а)Ì(а₁ ^’)Ì (а₂ ^’)Ì…Ì (а_n-1^’), /6/

Які згідно з лемою 2 є строгими, бо породжуючі елементи цих ідеалів неасоційовані. Якщо в представленні (5) всі елементиа_1, а_2,…..а_n– незвідні, то це означає. Що для а справедливий розклад /2/. Якщо ж декотрі із цих елементів не є незвідними, то процес міркування треба продовжити. Одначе, цей процес може бути нескінченним, тому що тоді строго зростаючий ланцюг /6/ головних ідеалів був би теж нескінченним, що на підставі леми неможливо.

Отже, процес наших міркувань скінченний і після скінченного числа кроків одержимо для елемента а розклад /2/.

ІІ. Доведемо тепер, що розклад кожного елемента а К є однозначним.

Припустимо, що деякий елемент а К має два розклади:

А= ξр₁ р₂… р_r, а= ξ’q₁q₂…q_j

На незвідні множники. Тоді

ξр₁ р₂… р_r= ξ’q₁q₂…q_j

Або інакше (ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р_r= q₁q₂…q_j /7/

Ліва частина цієї рівності ділиться на р₁, тому і права q₁q₂…q_r ділиться на р _1. Оскільки р₁ незвідний елемент, то за теоремою 2, яку по індукції можна поширити на довільне скінченне число співмножників, котрийсь із елементів q₁q₂…q_jділиться на р ₁. Пронумерувати в разі потреби елементи q₁q₂…q_j, доб’ємося того, що q₁ і р₁. Оскільки q₁ і р₁ – незвідні елементи, то існує дільник одиниці ξ ₁ такий що, q₁ = ξ₁ р₁

Підставивши одержаний вираз замість q₁ у формулу /7/ і скоротивши на р₁ (на недільники нуля скорочувати можна), матимемо

ξ₁^-1 (ξ’)^-1 ξр₁ р₂… р_r= q₁q₂…q_j

ліва частина цієї рівності ділиться на р₂. Тоді на р₂ ділиться і права. Провівши ті ж міркування, які були застосовані вище, матимемо

q₂ = ξ₂р₂, ξ₂^-1ξ₁^-1 (ξ’)^-1 ξр₃… р_r= q₃…q_j

якби будо r>1 то після r кроків мали б

ξ₂^-1… ξ₁^-1 (ξ’)^-1ξ= q_r+1… q_j

або інакше І = ξ^-’ ξ’ ξ₁… ξ_r q_r+1… q_j

ця рівність означає, що незвідні елементи q_r+1… q_j є дільники І, а це суперечить їх незвідності. Отже r>І. лема логічно показує, що нерівність І>r теж неможлива. Таким чином І=r і справедливі одержані в процесі доведення рівності

q₁ = ξ₁ р₁, q₂ = ξ₂ р₂,… q_r = ξ_r р_r. Теорема доведена.

На закінчення даної теми відзначимо, що в області цілісності з І, яка не є кільцем головних ідеалів, розклад на незвідні елементи може бути неоднозначним.

Наведемо приклад. Легко перевірити, що сукупність z () комплексних чисел виду а+b і, де a і b – довільні цілі числа, є областю цілісності з 1. Покажемо, що кожен елемент z ≠0 цього кільця має розклад на незвідні елементи, який може бути і неоднозначним.

З цією метою у відповідність кожному числу z= а+b і є z( ), поставимо ціле невід’ємне число N(z)=a²+3b², яке назвемо нормою числа z. Елементарно показується, що

("z, z₁, z₂ є z( )): (z= z₁× z₂)ÞN (z) = (N(z₁)×N(z₂))

(Показати самостійно!). Зокрема, якщо 1= z₁× z₂ (z₁, z₂ є z( )), N (І) = N(z₁)×N(z₂). Оскільки N (1)=N (1+0 )=1, N(z₁)=N(z₂)=1. Якщо z₁= а₁+b₁₁ , то a₁²+3b₁²=1, звідки a₁=±1, b₁=0. Таким чином, дільниками 1 є z( ) є тільки числа 1 і -1.

Можливість розкладу числа z є z( ), z¹ 0 доведемо методом математичної індукції по нормі

N(z) і якщо z¹ 0, то N (z)>0.

При N(z)=1, як показано вище, z±1, а за домовленістю дільники 1 мають розклади на незвідні. Припустимо, що твердження вірне для всіх чисел з нормою меншою від m, тобто припустимо, що всі числа При z, для яких N(z)<m, мають розклади на незвідні числа із z( ). Нехай z - довільне число із z( ), норма якого N(z)=m. Число z завжди можна подати у вигляді

z= z₁× z₂(z₁, z₂ є z( )) /8/.

Якщо із цього подання випливає, що z₁ або z₂ – дільники 1, то за означенням z – незвідний елемент і він має тривіальний розклад на незвідні множники: z=ez (e=1). Якщо ні z₁ ні z₂ – не дільники 1, тобто z₁, z₂=±1, то N(z₁),N(z₂)¹1 із представлення N(z) =N(z₁)×N(z₂) випливає, що N(z₁)<m і N(z₂)<m. Тоді за індуктивним припущенням z₁ і z₂ можна розкласти на незвідні множники. Підставивши ці розклади у формулу /8/, одержимо розклад і для елемента z.

Таким чином, кожен елемент із кільця z( ) має розклад на незвідні числа, але не для деякого числа із цього кільця цей розклад однозначний. Наприклад, число 4 є z( ) має такі розклади:

4=2×2, 4=(1+ і)(1- і). /9/

В цих розкладах числа 2, 1± і незвідні, бо їх норма дорівнює 2, а 2 не розкладається на нетривіальні множники. Тому і числа 2, 1± і не розкладаються на нетривіальні множники. Зрозуміло, що числа 2, 1+ і, 2, 1- і неасоційовані, бо 2¹(±1)(± і). Отже, розклади /9/ є різними розкладами числа 4.

§5. Конгруенції та фактор кільця за ідеалом.

1. Конгруенції комутативного кільця К за ідеалам І.

Крім алгебраїчних операцій в кільці К можуть бути введені і деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. З алгебраїчної точки зору інтерес представляють тільки такі відношення еквівалентності, які певним способом узгодженні з операціями, означеними в кільці.

Означення. Говорять, що відношення еквівалентності a ~ b в комутативному кільці К узгоджено з алгебраїчними операціями цього кільця, якщо:

(" a, b, c, d є К):(a~b)Ù(c ~d)Þ(a + c ~ b + d)Ù(ac ~ bd)

Прикладом відношення еквівалентності, узгодженого з операціями кільця, служить відношення конгруентності за модулем ідеалу.

Означення. Говорять, що елементи a, b комутативного кільця конгруентні між собою, за ідеалом ІÌК і за модулем ідеалу І, якщо a - b І, і записується це так:

a º b(modI)

Теорема 1. Відношення конгруентності за ідеалом І кільця К відношенням еквівалентності в К, узгодженим з операціями К.

Доведення. Оскільки кожен ідеал І кільця К є підкільцем, отже, і підгрупою групи цього кільця, то перевірка того, що відношення конгруентності за ідеалом І є відношення еквівалентності. Узгодженим з операцією додавання, приводиться точно так, як і в теорії груп. І тому зараз проводити її не будемо. Покажемо тільки, що коли

a º b (mod I), c º d (mod I), /1/

то ac º bd (mod I) /2/

з цією метою розглянемо різницю ac – bd

ac-bd=(ac – bd) + (bc – bd) = (a-b)c +b(c-d) /3/

в силу конгруенції /1/ a-b, c-d І. тоді за другою умовою з означення ідеалу (a-b)c, b(c-d) І, внаслідок того, що ідеал є підкільцем (a-b)c +b(c-d) І, що рівносильна конгруенції /2/. Теорема доведена.

Виявляється, що відношення конгруентності за ідеалом І вичерпуються усі відношення еквівалентності, узгодженні з операціями кільця. Точніше справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності в кільця К, узгодженого з операціями цього кільця, існує ідеал І такий, що дане відношення еквівалентності є відношення конгруентності за ідеалом І.

Доведення цієї теореми проводити не будемо.

2.Фактор-кільця комутативного кільця за ідеалом І.