З ГРУПОВОЮ ОПЕРАЦІЄЮ. СУМІЖНІ КЛАСИ

Як уже підкреслювалося, основними об’єктами сучасної математики є математичні структури – множини з одним або декількома відношеннями. Алгебраїчні операції – окремий вид відношень, точніше, функціональних відношень. Зрозуміло, що можуть існувати структури, яких поряд з алгебраїчною операцією задано деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. Зараз зупинимось на розгляді груп, в яких додатково введено деяке відношення еквівалентності. Інтерес становлять тільки ті відношення еквівалентності, які певним способом узгоджені з груповою операцією. Оскільки операція в групі, взагалі кажучи, некомутативна, то приходиться розглядати віношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією справа.

Означення 1. Говорять, що відношення еквівалентності означене на групі G, узгоджується з груповою операцією зліва, якщо

()( G): (b - ) (ab - a )

і справа, якщо

()( G): (b - ) (ba - )

Наведемо приклади відношень еквівалентності, узгоджених з груповою операцією зліва і справа.

Означення 2. Нехай Н -довільна підгрупа групи G. Елементи а,b G будемо називати конгруентними за модулем Н зліва і записувати а ()

якщо , і справа та записувати

, якщо

Теорема 1. Відношення конгруентності зліва (справа) за модулем підгрупи Н є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва (справа).

Доведення. Теорему доведемо для відношення конгруентності зліва (для конгруентності справа доведення аналогічне).

Перевіримо спочатку, що відношення конгруентності зліва за модулем підгрупи є відношенням еквівалентності, тобто, що воно заловільняє відомим умовам з означення, відношення конгруентності.

1) , бо

2) Якщо ,то елемент . Тоді підгрупі належить і еле-мент , тобто . Це і означає, що

3) Якщо і , то елементи . Тоді їх добуток , тобто елемент належить Н.

Значить, .

Залишилося показати, що дане відношення еквівалентності узгоджене з груповою операцією зліва, тобто, що

Щоб довести справедливість останьої конгруенції, треба показати, що

а остання належність очевидна, бо .

Отже, відношення конгруентності зліва (справа) за модулем є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва (справа).

Виявляється, що відношень еквівалентності на групі G, узгоджених з груповою операцією зліва (справа), які були б відмінними від відношення конгруентностізліва (справа) за модулем підгрупи Н взагалі немає. Інакше кажучи, відношуння конгруентності зліва (спра-ва) за модулем підгрупи Н є універсальним відношенням еквівалентності, узгодженим зліва (справа) з груповою операцією. Точніше така теорема, яку приймемо без доведення:

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності ~ на групі G, узгоджено з груповою операцією зліва (справа) існує підгрупа Н групи G така, що відношення ~ євідношенням конг-руентностізліва (справа) за модулем підгрупи Н.

Поиск по сайту: