Перетворення звичайного дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу

Розглянемо питання про перетворення звичайного дробу в десятковий. Як відомо з арифметики звичайні дроби перетворюються або в скінченні, або не в скінченні періодичні десяткові дроби. При цьому звичайний дріб перетворюється в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника має вигляд . тобто не містить ніяких простих множників, крім 2 і 5. Для спрощення вважатимемо нескоротним правильним дробом.(Якщо він неправильний, то можна спочатку виділити цілу частину). Звичайні нескоротні і правильні дроби виду перетворюються в скінченні десяткові дроби з числом десяткових знаків, яке дорівнює найбільшому з чисел a або b. Справді, якщо a=b то скінченний десятковий дріб. Якщо , то скінченний десятковий дріб. Якщо , то скінченний десятковий дріб.

Легко зрозуміти, що нескоротний дріб виду , де відмінне від 2 і 5, в скінченний десятковий дріб не перетворюється.

Справді, припускаючи супротивне,маємо

Звідки , де – дільник числа , що неможливо, бо відмінне від 2 і 5 за умовою і . Ця суперечність доводить справедливість твердження.

Теорема 1. Якщо канонічний розклад знаменника нескороченого дробу не містить у собі множників 2 і 5, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб; при цьому число цифр у періоді дорівнює показнику , до якого належить число 10, за модулем .

Доведення. Для спрощення дріб вважатимемо правильним. Процес ділення числа на число при умові можна схематично зобразити так:

_ a× 10 b	B
0,
_ b
…….
	_ b
	_ b
	………

Цю схему в свою чергу можна подати у вигляді системи рівностей:

..............................

............................................

Де — остачі, а — частки проміжних обчислень. Будь-яка остача , очевидно, задовольняє нерівність

а будь-які числа задовольняють нерівність , тобто є цифрами, з яких складається частка 0, в схемі (4).

Проаналізуємо властивості чисел і докладніше. Насамперед нагадаємо, що дріб є нескоротним і правильним. Це означає, що і . Таким чином, число є один з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулем Справді

Оскільки числа взаємно прості, то з першої рівності (5) випливає, що . Справді за умови випливало б, що вся права частина, а отже, і ліва частина ділилась би на . Тому числа не були б взаємно простими, що суперечить (7). За умов і випливає, що остача є одним з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулем . Аналогічно можна показати, що й числа є найменшими додатними лишками ЗСЛ за модулем . Але ЗСЛ за модулем може мати не більше найменших додатних лишків. Тому в системі рівностей (5) настане момент, коли одна з остач дорівнюватиме . Нехай . Тоді рівність (5) збіжиться з першою рівністю цієї системи. І тому …. Далі, … рівність збіжиться з другою рівністю (5) і тому . Таким чином, остачі і частки проміжних обчислень повторюватимуться. Тим самим частка в схемі (4) буде чистим періодичним десятковим дробом виду

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після  кроків проміжних обчислень, де  – показник, до якого належить 10 за модулем . Справді, якщо  – найменший показник, при якому здійснюється конгруенція

то при рівносильною їй є і конгруенція

Остання конгруенція якраз і показує, що, приписавши до нулів, що відповідає визначенню  послідовних цифр частки, дістанемо при діленні на остачу . При діленні на при аналогічно дістанемо через  ділень остачу, яка дорівнює числу . Отже, частка (8) має вигляд , що й треба було довести.

Зауваження. З конгруенції випливає, що або .

Іншими словами, число 999…9, що складається з  дев’яток – найменше з можливих чисел такої структури, яке ділиться на . Це дає можливість досить легко знаходити число . Для цього треба послідовно ділити на числа 9, 99, 999, 9999, … і т. д., аж поки таке ділення не відбудеться. Кількість дев’яток у такому числі і дорівнює числу .

Теорема 2. Якщо канонічний розклад знаменника нескоротного дробу має вигляд ,де то цей дріб перетворюється у мішаний періодичний дріб; число цифр до періоду дорівнює g, де g – найбільше з чисел a і b; число цифр періоду дорівнює d, де d – показник, якому належить число 10 за модулем .

Доведення. Дріб

помножимо на , де . Матимемо

і далі

За теоремою 1, дріб перетворюється в чистий періодичний дріб з числом цифр у періоді, яке дорівнює , де  – показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати початковий дріб , треба розділити його на , або інакше, перенести кому в знайденому періодичному дробі на g знаків ліворуч; у результаті дістанемо мішаний періодичний дріб з числом g цифр до періоду. Теорему доведено.

Поиск по сайту: