ІІ. НАЙПРОСТІШІ ВИСНОВКИ З АКСІОМАТИКИ

Означення 1. Всяке кільце К відносно операції додавання, означеної в ньому, утворює адитивну абелеву групу – адитивну групу кільця К.

Внаслідок цього всі властивості, які мають адитивні абелеві групи. Справедливі і у випадку довільного кільця К. Відзначимо деякі з них.

Означення 2. Нулевий елемент кільця К є єдиним і всякий елемент кільця К має єдиний протилежний.

Означення 3. Які б не були елементи a, b К рівняння а+х=b має єдиний розв’язок х=b+(-а), який називають різницею елементів b та а і позначають х=b-а.

Означення 4. ( a,b К): - (a +b)= -а-b.

Аналогічно, як і для адитивних абелевих груп, вводиться поняття n-кратного елемента n а до а:

а+а+...+а, n >0,

na ={ 0, n =0,

(n)(-a)=(-a)+(-a)+…+(-a), n<0.

Нагадаємо, що n- кратний елемент nа задовольняє співвідношення:

Означення 5. ( а К)( m, n Z): {ma+na = (m+n)a,

m(na)=(mn)a.

Означення 6. Всяке кільце К відносно операції множення, означеної в ньому, утворює мультиплікативну півгрупу.

Наявність асоціативного закону для множення дозволяє ввести поняття n- го степеня елемента а:

( а К)( n N):

Означення 7. = , = ( а К; m,n N).

Відзначимо ще 4 властивості, при доведені яких використовується дистрибутивність множення відносно додавання.

Означення 8.

( а, b К): а (b-с) =аb-ас (дистрибyтивний закон для різниці).

На підставі означення досить показати, що

ас+а (b-с) =ab.

В справедливості останньої рівності пересвідчуємось, використовуючи аксіому 6) і означення різниці b-с:

ас+а (b-с)= а (с +(b-с))= аb.

Означення 9. ( а К): а* 0=0.

Справді, який би не був елемент х К:

а* 0= а (х +(-х))= а (х-х)= ах-ах = ах +(-ах)=0.

Як відомо, в довільному полі і в кільці Z цілих чисел справедливе обернене твердження:

( а, b К): (аb =0)звідси(а =0) або (b =0).

У випадку довільного кільця це твердження, взагалі кажучи, невірне. Існують кільця,в яких із рівності аb =0 не випливає, що а або в дорівнюють 0.

Наприклад, в кільці матриць 2-го порядку:

,

Це зауваження дозволяє ввести нове поняття, поняття дільника нуля.

Означення. Якщо для деяких елементів а, b К, а ≠ 0, b ≠0, справедлива рівність аb =0, то елементи а, та b називають дільниками нуля (точніше, а – лівим дільником, b- правим дільником 0).

В кільці М 2дільниками нуля є, наприклад, матриці

(α,β≠0).

Вивчення кілець, в яких є дільники 0, дещо ускладнюється. В подальшому ми будемо займатися вивченням тільки тих кілець, в яких нема дільників 0. Комутативне кільце, в якому нема дільників нуля, називається областю цілісності.

Поиск по сайту: