Приклади

1. Система , де – множина додатних дійсних чисел утворює групу, бо ( a,b є ) a,b є ) і операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення дійсних чисел асоціативне. 2) в існує одиничний елемент – число 1. 3)для кожного числа а є обернене число існує і належить .

2. Множина всіх дійсних чисел без нуля теж утворює групу відносно операції множення дійсних чисел. В цьому переконуємось так само як і в прикладі 1.

3. Множина всіх дійсних чисел утворює групу відносно операції додавання дійсних чисел. Справді, операція “+” в R задовольняє аксіомам групи: 1) Операція “+” асоціативна. 2) в R існує нейтральний елемент – число 0. 3)для всякого числа а існує симетричний елемент – протилежне число – а.

4. З аналогічних міркувань система , де Z – множина усіх цілих чисел є групою.

5. Множина всіх невироджених матриць n -го порядку над полем P утворює групу відносно операції множення матриць. Дійсно ()АВ , бо за теоремою про визначник добутку матриць Крім того, 1)Множення матриць асоціативне. 2)В існує одиничний елемент – одинична матриця E. 3)Всяка неособлива матриця має обернену, яка, крім того ж належить , бо на підставі теореми про визначник добутку матриць із рівності =E виходить =1 і значить,

6. Множина = всіх значень кореня n- ого степеня з 1 утворює групу відносно операції множення комплексних чисел. Справді, якщо , бо = =1. Операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення комплексних чисел асоціативне, 2) одиниця належить =1, 3) ()() і , бо = =1.

7. Множина всіх підстановок n -ого степеня очевидним чином утворює групу відносно операції множення підстановок.

Зауважимо, що групи в прикладах 1-4 і в 6 є абелевими, а групи в прикладах 5 і 7 – неабелеві. Зауважимо також, що алгебраїчні операції в конкретних групах є або операціями множення, або операціями додавання. Групи, в яких алгебраїчні операції є множенням називаються мультиплікативними, а групи, в яких алгебраїчні операції є додаванням, є адитивними. З наведених прикладів видно, також, що одні групи мають безліч елементів – нескінченної групи (групи прикладів 1-5), інші мають скінченну кількість елементів – скінченні групи (групи прикладів 6 і 7). Кількість елементів у скінченній групі G називається порядком цієї групи і позначається Or )= n, а в прикладі 7 Or )= n!. В скінченних множинах групову операцію зручно задавати за допомогою таблиць множення, так званих таблиць Келі. В множині ,що складається з двох поворотів площини навколо нерухомої точки О – точки повороту l на кут і повороту
на кут операцією множення задамо такою таблицею Келі:

	e
e	e
		e

Легко перевірити, що множина із заданою операцією є групою.

Вправи.I. Дослідити, чи утворює групу:

1) множина N всіх натуральних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

2) множина Q всіх раціональних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

3) множина відносно операції множення чисел,

4) множина всіх парних підстановок n -ого степеня відносно операції множення підстановок,

5) множина всіх непарних підстановок n -ого степеня відносно операції множення підстановок.

II. Скласти таблицю Келі для симетричної групи .

Відзначимо декілька найпростіших властивостей груп, які безпосередньо випливають з означення аксіоматики групи.

. В усякій групі одиничний елемент е є єдиним і для всякого елемента а G обернений елемент теж єдиний.

Ця властивість є безпосереднім наслідком теорем, доведених у курсі алгебри першого семестру, про єдиність нейтрального елемента і симметричного елемента в множині з асоціативною алгебраїчною операцією.

. Для всяких елементів а,b G рівняння ax=b та ay=b мають єдині розв’язки відповідно x= b та y=b .

Доведення цієї властивості проводиться точно так само, як і доведення відповідної властивості полів.

. ( a,b G)(( = ), тобто елемент обернений до добутку, дорівнює добутку елементів, взятих у зворотному порядку.

Доведення. Щоб показати, що елемент є оберненим до ab треба показати на підставі означення оберненого елемента, що і (ab)( е і (ab)=е. Покажемо справедливість першої рівності (друга – аналогічно): (ab)( а(b ) =(ae) =a =e.

Подібно до того, як вводиться степінь з цілим показником для дійсного числа, поняття степеня з цілим показником можна ввести для будь-якого елемента групи.

Означення 4. Нехай G – група і n – ціле число. Тоді

,

Правила дій над степенями елементів групи ті ж, що і над степенями дійсних чисел:

4^*. Якщо G – група, то ( а G, m,n Z): а^m аⁿ = а^{m + n}.

Доведення. В залежності від знаків чисел і розглянемо кілька випадків.

1) m ≥ 0, n ≥ 0. Тоді на підставі означення 4 і теореми 1

а^m аⁿ = = a^m+n.

2) m ≥ 0, n ≤ 0. Тоді n = -| n | і, використовуючи означення 4 і теорему 1, матимемо:

=

3) m ≤ 0, n ≥ 0. Розглядається аналогічно випадку 2).

4) m ≤ 0, n ≤ 0. Розглядається аналогічно випадку 1).

Наслідок. В групі G ( а G) ( n Z): (аⁿ) ^-1 = а ^{- n}, тобто, елементом, оберненим до аⁿ,є а^-n

Справді, аⁿа^-n = а^{n - n}= а⁰ = е,

а^-n аⁿ = а ^{– n + n}=а⁰= е.

Методом математичної індукції властивість 4 можна розповсюдити на довільну скінчену кількість співмножників

5 . В групі G для

:( )ⁿ=

Доведення. Розглянемо два випадки.

1) m – довільне, n . Тоді на підставі властивості 4 і означення 4

2) m – довільне, n <0. Використовуючи означення 4, наслідок з властивості 4 і перший пункт доведення даної властивості, матимемо:

= ⁼ = .

Вправа. Перефразувати властивості 3-5 для адитивних груп.

Зауважимо, що при переході до адитивних груп поняття n-ого степеня елемента замінюється поняттям n-кратного елемента елементу

Поиск по сайту: