Приклади. Розглянемо деякі приклади евклідових просторів і ортогональних базисів в них

Розглянемо деякі приклади евклідових просторів і ортогональних базисів в них.

1. n-вимірний арифметичний простір , елементами якого є системи дійсних чисел

х=(х ,…,х ) зі звичайними операціями додавання і множення на число і скалярним добутком

(3)

являє собою приклад евклідового простору. Ортогональний нормований базис у ньому (один з нескінченого числа можливих) утворюють вектори

е =(1,0,…,0),

е =(0,1,…,0),

……………..

е =(0,0,…,1).

2. Простір з елементами х = (х ,…,х ,…), де < , і скалярним добутком

(4)

евклідів простір.

Дійсно, збіжність ряда, що стоїть в (4) праворуч випливає з нерівності Коші-Буняковського . Властивості 1-4 скалярного добутку перевіряються безпосередньо.

Найпростіший ортогональний базис у утворюють вектори

е =(1,0,0,…),

е =(0,1,0,…), (5)

е =(0,0,1,…),

……………..

Ортогональність і нормованість системи ясні, крім того система (5) повна: нехай х=(х ,…,х ,…) – будь-який вектор з і х =(х ,…,х ,0,0,…). Тоді х - лінійна комбінація векторів е ,…, е і при n 0.

3. Простір С [a, b], що складається з неперервних дійсних функцій на [a, b], зі скалярним добутком – евклідів простір.

(6)

Серед різноманітних базисів, що існують в ньому, можна вказати на тригонометричну систему, що складається з функцій

, , . (7)

Ортогональність системи перевіряється безпосередньо.

Якщо розглядаються неперервні функції на відрізку довжини 2 , наприклад [- , ], то відповідна тригонометрична система буде: ,cos(nt), sin(nt) (n=1,2,…).

Система (7) повна, тобто кожна неперервна функція може бути представлена у вигляді лінійної комбінації даних функцій.

Доведемо, що система (7) є повною.

Згідно з теоремою Вейєрштрасса всяка неперервна функція на відрізку [a, b], яка приймає на кінцях відрізка однакові значення, може бути представлена як границя рівномірно збіжної послідовності тригонометричних многочленів, тобто лінійних комбінацій елементів системи (7). Така послідовність і подавно збіжна до по нормі в просторі С [a, b]. Якщо ж функція f - довільна функція в С [a, b], то її можна подати, як границю (по нормі простору С [a, b]) послідовності функції , кожна з яких співпадає з f на відрізку [a,b- ], лінійна на [b- ,b] і в точці b приймає те значення, що і в a. Звідси, кожен елемент в C [a,b]можна приблизити як завгодно точно (в метриці цього простору) лінійними комбінаціями елементів системи (7), а це і означає її повноту.

f(x)

Поиск по сайту: