Нерівність Бесселя. Замкнені ортогональні системи. Рівність Парсеваля

Вибравши в евклідовім n-вимірному просторі ортогональний нормований базис е ,…,е , можна кожен вектор x записати у вигляді

, (10)

де . (11)

Розглянемо, як узагальнити розклад (10) на випадок евклідового нескінченновимірного простору. Нехай ,…, ,… - ортогональна нормована система в евклідовому просторі R, і f – довільний елемент з R. Співвіднесемо елементу f послідовності чисел

(12) які назвемо координатами або коефіцієнтами Фур’є елемента f по системі { } та ряд (поки що формальний)

, (13)

який назвемо рядом Фур’є елемента f по системі { }.

Чи буде ряд (13) збіжний, тобто чи прямує послідовність його часткових сум (по метриці простору R) до якої-небудь границі і якщо він збіжний, чи співпадає його сума з вихідним елементом f?

Спочатку при заданому n спробуємо підібрати коефіцієнти так, щоб відстань між f і сумою

(14)

була мінімальною. Обчислимо цю відстань. Оскільки система ортогональна і нормована, то

= = + = = + = + .

Мінімум цього виразу досягається, коли останній доданок дорівнює нулю, тобто при

= . (15)

В цьому випадку

= . (16)

Показали, що серед усіх сум виду (14) при даному n найменше відхиляється від f частково сума ряду Фур’є елемента f.

Геометрично це можна пояснити так. Елемент , ортогональний всім лінійним комбінаціям виду , тобто ортогональний підпростору, породженому елементами , в тому і тільки в тому випадку, коли виконується умова (15).

Таким чином, цей висновок являє собою узагальнення відомої теореми геометрії: довжина перпендикуляра, який опущено з даної точки на пряму чи площину, менша за довжину будь-якої похилої, проведеної з цієї ж точки.

Оскільки завжди , то з рівності (16) випливає, що .

Тут n – довільне, а права частина не залежить від n; звідси ряд збіжний, і . (17)

Ця нерівність називається нерівністю Бесселя. Геометрично вона означає, що сума квадратів проекцій вектора f на взаємно ортогональні напрямки не більша за квадрат довжини самого вектора f.

Означення: Ортогональна нормована система називається замкненою, якщо для будь-якого f R справедлива рівність

= , (18)

що називається рівністю Парсеваля.

З тотожності (16) випливає, що замкненість системи рівносильна тому, що для кожного f R часткові суми ряда Фур’є збіжні до f.

Поняття замкненості ортогональної нормованої системи тісно пов’язані з повнотою системи.

Теорема: В сепарабельному евклідовім просторі R всяка повна ортогональна нормована система є замкненою, і навпаки.

Доведення.Нехай система { } замкнена; тоді який би не був елемент f R, послідовність числових сум його Фур’є збігається до f. Це значить, що лінійні комбінації елементів системи { } всюди щільні в R, тобто система { } повна. Обернено, нехай система { } повна, тобто будь-який елемент f R можна скільки завгодно точно апроксимувати лінійною комбінацією елементів системи { }; часткова сума ряду Фур’є дає не менш точну апроксимацію. Звідси, ряд збіжний і рівність Парсеваля виконується.

Ми показали існування повних ортогональних нормованих систем у сепарабельному евклідовім просторі. Оскільки для ортогональних нормованих систем поняття замкненості і повноти співпадають, то існування замкнених ортогональних систем у R не треба доводити, а наведені приклади повних ортогональних нормованих систем є водночас і прикладами замкнених систем.

Ми припускали, що всі ортогональні системи нормовані. Переформулюємо поняття коефіцієнтів Фур’є, ряду Фур’є і таке інше для будь-яких ортогональних систем. Нехай { } – довільна ортогональна система. За нею можна побудувати нормовану систему, що складається з елементів = . Для будь-якого f R маємо с = = ();

= = ,

де = = . (19)

Коефіцієнти , що визначаються формулою (19), назвемо коефіцієнтами Фур’є елемента f по ортогональній (ненормованій) системі { }. Підставимо в нерівність (17) замість с їх вирази с = з (19) одержимо

(20)

- нерівність Бесселя для довільної ортогональної системи.

Поиск по сайту: