Доведення. Елемент знаходимо у вигляді = ; при цьому визначається з умови

Елемент знаходимо у вигляді = ; при цьому визначається з умови = =1, звідки = = .

Ясно, що визначається цим однозначно (з точністю до знака).

Нехай елементи (k<n), що задовольняють умовам 1.-3., вже побудовані. Тоді f можна подати у вигляді f = , де =0 при k<n. Дійсно, відповідні коефіцієнти , а значить, і елемент однозначно визначається з умов:

= = =0.

Очевидно, що >0, припущення =0 було б супротивним лінійній незалежності системи (8).

Візьмемо = .

З індуктивної побудови ясно, що , а звідси, і виражаються через f ,…,f , тобто

= +…+ , де . Крім того, =1, =0 (k<n) і

= +…+ , тобто задовольняє умовам теореми.

Перехід від системи (8) до системи, що задовольняє умовам 1-3, називається процесом ортогоналізації. Підпростори, породжені системами (8) і (9), співпадають між собою, звідси ці системи повні, але не повні одночасно.

Наслідок. В сепарабельному евклідовім просторі R існує ортогональний нормований базис.

Дійсно, нехай - злічена всюди щільна множина в R. Виберемо з неї повну систему лінійно незалежних елементів . Для цього достатньо з послідовності виключити всі ті елементи , кожен з яких можна виразити лінійною комбінацією з i<k. Вживаючи процес ортогоналізації до такої повної системи лінійно незалежних елементів, ми будуємо ортогональний базис.

Поиск по сайту: