Скалярний добуток. Нерівність Коші-Буняковського. Приклади. Тема: Евклідові простори

Тема: Евклідові простори.

Існує добре відомий спосіб введення норми в лінійному просторі – це задати в ньому скалярний добуток.

Означення: Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі є дійсна функція , визначена для кожної пари елементів і яка задовольняє наступним умовам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , причому тільки при .

Означення: Лінійний простір з фіксованим у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.

В евклідовім просторі вводиться норма за допомогою формули .

Можна показати, що всі аксіоми норми в цьому випадку виконуються:

1. виконується,

;

2. ;

3. Щоб довести аксіому 2) норми(нерівність трикутника) використаємо нерівність Коші-Буняковського

. (1)

Доведемо нерівність Коші-Буняковського (1).

Розглянемо функцію . Тому що вона представляє квадрат деякого вектора, то , отже дискримінант квадратного трьохчлена .

Знайдемо дискримінант:

D = 4 ,отже .

Доведемо аксіому 2) норми, що

Теорема. В евклідовому просторі сума, добуток на число і скалярний добуток неперервні, тобто, якщо і (збіжність за нормою), (як числова послідовність), то

, та .

Доведення. Доведення цих фактів засновано на використанні нерівності Коші-Буняковського:

1)

Дійсно,

за ,

за ,

тоді :

, .

2) = +

= , для великих .

Дійсно, з того, що збігається до , слідує, що послідовність обмежена, тобто : (). Для великих можна зробити так, щоб та .

3) =

= , для великих , де - таке число, що (послідовність збіжна, тому що з того що слідує .

Поиск по сайту: