Приклади. 1. Множина всіх підстановок n-го степеня з операцією множення підстановок утворює півгрупу

1. Множина всіх підстановок n -го степеня з операцією множення підстановок утворює півгрупу.

2. Групоїд , де R — множина всіх дійсних чисел, теж є півгрупою.

3. Множина всіх матриць n -го порядку утворює півгрупу відносно операції множення матриць, бо множення матриць є асоціативним. В цій півгрупі існує одиничний елемент — одинична матриця Е, але не для кожної матриці існує обернена.

4. Сукупність і , деN— множина натуральних чисел, утворюють півгрупи, причому в першому випадку нейтральний елемент (І) належить півгрупі, а в другому випадку півгрупа не містить нейтрального елемента (0).

5. Множина P всіх цілих парних чисел утворює півгрупу відносно операції множення (добуток парних чисел — парне число, множення чисел асоціативне), причому ця півгрупа нейтрального елемента (І) не містить.

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи М дозволяє однозначно ввести в М поняття добутку 3, 4, …, n елементів. Оскільки , то добуток трьох елементів можна прийняти будь–який із елементів і . Приймемо за означенням:

Добуток 4, 5, …, n елементів означимо рекурентно:

……………………………………………………………………………………

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи дозволяє в добутках, що містять більше двох співмножників (такі добутки будемо умовно називати складеними), довільно розставляти дужки. Цей факт випливає з такої теореми:

Теорема 1. Добуток двох складених добутків дорівнює складеному добутку всіх співмножників, що входять до їх складу, взятих у тому ж порядку, тобто (1)

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції по n.

1. Якщо n =1, то формула (1) прийме вигляд: , яка є справедливою згідно прийнятого означення добутку (m +1)-го елемента.

2. Припустимо, що формула (1) справедлива для деякого n, треба довести, що вона справедлива для n +1:

Використовуючи означення добутку (m+n)+1 елементів і асоціативність алгебраїчною операції, послідовно матимемо:

Отже, формула (1) справедлива при n, то вона справедлива і при n +1. На підставі принципу математичної індукції можна стверджувати, що формула (1) справедлива при будь-якому n.

Наслідок. В складеному добутку можна вільно розставляти дужки.

Справді, тому що у формулі (1) послідовно брати m =1, 2, …, n -1, то дістанемо:

В кожній із одержаній дужок можна на підставі теореми 1 знову довільно розставляти дужки, наслідок чого ми одержимо, наприклад, таке:

ІІІ.ОЗНАЧЕННЯГРУПИ.ПРИКЛАДИ. НАЙПРОСТІШІВЛАСТИВОСТІ ГРУП.

Означення 3. Не порожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1) Алгебраїчна операція асоціативна, тобто ,

2) в G існує одиничний елемент е такий, що ,

3) для кожного елемента G існує обернений елемент G такий, що a = a=e.

Якщо алгебраїчна операція, означена в групі, є додатково комутативною, то група називається комутативною або абелевою.

Поиск по сайту: