РОЗДІЛ ІІ. КІЛЬЦЯ ТА ІДЕАЛИ

Література: 1. Ван-дер-гарден, Современная алгебра. ч.1. М. Гостехнодіт, 1947 г.

2. Л.А. Калухнин. Введение в общую алгебру. Наука, 1973г.

3. А.Г. Дуров, Лекции по общей алгебре. Я., 1973г.

4. С.Ленг. Алгебра, М., Мир. 1968г.

5. О.І. Бородін, Теорія чисел, Л., Вища школа, 1970 р.

Як уже не раз відзначалось, основним об’єктом в сучасній алгебрі є алгебраїчні структури, тобто множини, в яких введено одну чи декілька алгебраїчних операцій, які задовольняють тим чи іншим умовам (аксіомам структури). В алгебрі на першому курсі вивчалися дві важливі алгебраїчні структури – групи і поля. Вивчення алгебри на другому курсі розпочалося із встановлення ряду властивостей цілих чисел. В множині Z цілих чисел введені дві алгебраїчні операції – додавання і множення. Відносно операції додавання множина Z утворює адитивну абелеву групу, але, оскільки в ній є ще одна алгебраїчна операція – множення, її структура не є структурою групи. Множина Z цілих чисел не є і полем, бо жодне ціле число, крім І і –І, не має в Z оберненого до себе. Таким чином, в математиці є множини з двома алгебраїчними операціями (внутрішніми законами композиції), які не є полями. Найважливіший клас серед них утворюють кільця.

§1. Означення кільця, властивості та основні поняття. Приклади кілець.

Означення. Непорожня множина К називається кільцем, якщо на ній означені дві алгебраїчні операції (внутрішні закони композиції) – додавання і множення, що задовольняють таким умовам:

1) асоціативність додавання:

( а, b, с К): (а+b)+с=а+(b+с);

2) комутативність додавання:

( а, b К): а+b=b+а;

3) в К існує нулевий елемент 0 такий, що

( а К): а +0= а;

4) для всякого елемента а К існує протилежний елемент – а такий, що

а +(- а)=о;

5) асоціативність множення:

( а, b, с К): (аb) с = а (bс);

6) операція множення дистрибутивна по відношеню до додавання

( а, b, с К): а (b+с)= аb+ас, (b+с) а = bа+са.

Якщо в кільці К операція множення є комутативна, тобто

( а, b К): аb=bа;

то кільце К називається комутативним.

Якщо в кільці існує елемент 1 такий, що( а К): а*1=1*а=а,

то кільце К називається кільцем з одиницею. Якщо для кожного не нулевого елемента а є К існує обернений елемент, тобто, такий елемент а К, що

а а = а а =1,

то таке комутативне кільце К з І називається полем. Як бачимо, поле є кільцем. Наведемо приклади кілець, що не є полями.

Приклади. 1. Множина Z усіх цілих чисел утворює комутативне кільце з 1, якщо за внутрішні закони композиції в Z взяти звичайні операції додавання і множення цілих чисел.

1. Множина М усіх матриць n -того порядку з елементами із даного числового поля утворює некомутативне кільце з одиницею, якщо за внутрішні закони композиції прийняти звичайні операції додавання і множеня матриць. Виконання аксіом 1)-6) перевірилось при вивченні матриць на першому курсі.

3. Множина С усіх неперервних функцій на сегменті [ а,b ] утворює комутативне кільце з 1, якщо для довільних f(x), g(x) С, (f+g) і (fg) означити так:

( х є[ а, b ]): (f+g)(x)= f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x),

Той факт, що (f+g)(x), (fg)(x) С, відомий з аналізу (сума і добуток неперервних функцій – функції неперервні). Виконання аксіом 1), 2), 3), 6) випливає із справедливості цих умов для додавання і множення дійсних чисел (при всякому х [ a,b] f(x) - дійсне число), наприклад,

( f(x), g(x) С): (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).

Аналогічно перевіряється комутативність множення. Очевидно, роль нулевого елементу виконує функція f(x)=0 (х [ a,b]), протилежною до f(x) є функція – f(x), при всякому х [ a, b ] приймає значення, протилежні до відпoвідних значень f(x). Одиничним елементом служить функція f(x)=1 (х [ a, b ]).

Зауважимо, що множина С не є полем, тому, що для всякої функції f(x) С, яка має в точці [ a, b ] корінь, обернена функція має в точці х розрив, і значить не належить С.

Відзначимо, що деякі автори, наприклад, А.Г.Курош(3), в означення кільця не включають аксіому 5), тобто, не ставлять вимоги щоб множення було асоціативним. Тоді серед кілець є неасоціативні кільця (наприклад,кільця Лі і кільця Жордана, див.(3)).

Поиск по сайту: