Фактор-кільця і гомоморфізми

1.Конгруенції та класи лишків за модулем

В цьому параграфі застосуємо результати попереднього параграфу до кільця цілих чисел.

Насамперед зауважимо, що, як це показано в §2, кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів - всякий ненульовий ідеал в є сукупністю чисел, кратних деякому натуральному числу , його можна записувати у вигляд . Тому конгруенції в цьому кільці є конгруенціями за модулем , Нагадаємо, що за означенням числа конгруентні за модулем , якщо їх різниця ділиться націло на . За теоремою 3 §5 числа конгруентні за тоді і тільки тоді, коли існує таке, що . Для цілих чисел справедливий ще один критерій конгруентності.

Теорема 1. Цілі числа a і b конгруентні за модулем тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові остачі при діленні на .

Доведення. За теоремою про ділення з остачею

Звідки . Оскільки перший доданок даної суми ділиться на , то вся сума ділиться на тоді і тільки тоді,коли на ділиться другий доданок . Ос­таннє, внаслідок того, можливе тоді і тільки тоді, коли , тобто .

З теореми 2 §5 випливає, що сукупність чисел, конгруентних між собою за , співпадає з деяким суміжним класом кільця за ідеалом . Через це сукупність чисел, конгруентних між собою за , називається класом чисел,конгруентних за , а будь-яке число із цього класу його представником або лишком. Тому клас чисел,конгруентних за модулем ще назива­ють класом лишків кільця цілих чисел за модулем .

Як відомо, сукупність суміжних класів кільця K за ідеалом утворює розбиття цього кільця, яке само є кільцем відносно операцій додавання та множення класів - фактор-кільцем K/ , Тому сукупність класів лишків кільця цілих чисел за модулем утворює фактор-кільце . З теореми І виходить, що фактор-кільце є скінченим і містить різних класів.

Справді, кожен клас лишків є сукупність всіх цілих чисел, що при діленні на дають одну і ту ж остачу . Оскільки всіх остач є - 0,1,2,..., — кожна з них міститься в одному і тільки в одному класі лишків та, навпаки, кожен клас містить одну з цих остач, то всіх різних класів лишків є .

Класи лишків за модулем позначають часто через , де — остача чисел даного класу при діленні на . Випишемо їх:

Якщо з кожного класу чисел за модулем взяти по одному і тільки, по одному лишку, то одержана система чисел називається повною системою лишків модулем . Найчастіше за повну систему лишків за модулем вибирають найменші невід’ємні лишки 0,1,2,..., або абсолютно найменші лишки, тобто лишки, які в своїх класах є найменшими за абсолютною величиною. За модулем 10, наприклад, повною системою найменших невід'ємних лишків є:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

а повною системою абсолютно найменших лишків є

0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1

Або

0,1,2,3,4,-5,-4,-3,-2,-1. Крім повних систем лишків, в теорії чисел важливу роль відіграють так звані зведені системи лишків. Щоб підійти до цього поняття, зауважимо, що числа одного і того ж класу
в силу відомого співвідношення

Мають модулем один і той же найбільший спільний дільник. Зокрема, всі числа одного і того ж класу є одночасно взаємно простими з або взаємно не простими з , тобто можна говорити про класи чисел, взаємно простих а модулем . При цьому клас є взаємно простим за модулем тоді і тільки тоді, Коли . Це означає, що класів чисел, взаємно простих з модулем , є стільки, скільки є чисел, меиших від і взаємно простих , тобто, . Явдо з кожного класу лишків, взаємно простих за модулем , взяти по одному і тільки по одному лишку, то одержана сукупність чисел називається зведеною системою лишків за модулем . Щоб зведену систему, треба з повної системи ликів за модулем вибрити числа, взаємно прості з .

2. Кільце класів лишків за модулем .

Вище вже відзначалося, що сукупність усіх класів лишків утворює кільце відносно операцій додавання і множення суміжних кла­сів – фактор-кільце . Дослідимо, чи не є це кільце полем.

Лема. Сукупність класів лишків , взаємно про­стих з модулем , утворив у фактор-кільці абелеву мультиплікативну групу порядку

Доведення. Відзначимо насамперед, що коли, , то і , внаслідок чого . З цього виходить, що добуток довільних суміжних класів із належить , фсоціативність і комутативніеть множення класів справедлива, бо є комутативним кільцем. Внаслідок співвідношення

одиничний клас фактор-кільця належить . Для завершення доведення залишається показати, що кожен елемент обернений елемент, що теж належить .

Нехай - довільний клас із . Тоді і за теоремою 2 §4

останньої рівності зокрема виходить що , тобто клас

. Крім того

Легко бачити, що Тому , тобто клас є оберненим до класу .

Таким чином, - мультиплікативпа абелева група. Оскільки за відзначеним в кінці п.1 класів лишків, взаємно простих з модулем , то порядок дорівнює . Лема доведена.

Теорема 2. Якщо p - просте число, то кільце класів лишків за модулем є полем. Якщо - складене число, то кільце не є навіть областю цілісності.

Доведення.

1) Якщо - просте число, то кожне з чисел
1,2,..., -1 взаємно прості з р. Томувсі класи лишківза модулем , крім нульового класу належить абелевій мультиплікативній групі , про яку йде мова в лемі. Це і означає, що в мультиплікативному кільці зодиницею всі елементи, крім нульового, мають обернені, тобто є полем.

2) Нехай - складене число. Оскільки має нетривіальні натуральні дільники, що, звичайно, менші за нього, то

Покажемо, що клас є дільником нуля. Оскільки , то і, значить, клас , тобто, не є нулівим класом кільця . Крім того, на підставі /І/.

Внаслідок того, що , значить, , тобто, клас , є ненульовкм. В той же час

Отже, в кільці існують дільники нуля, тобто, . не є областю цілісності і, тим більше, не є полем.

На закінчення цього параграфу використаємо доведену вище лему до доведення важливої теореми теорії чисел - теореми Ейлера.

Теорема 3. (Ейлера)

Доведення. Оскільки то клас належить сукупності класів лишків, взаємно простих з модулем . За лемою множина є мультиплікативною абелевою групою порядку . Розглянемо в групі циклічну підгрупу , породжену класом . На підставі теореми Лагранжа порядок б цієї підгрупи є дільником порядку .

Тому, що порядок циклічної підгрупи співпадає з порядком породжуючо­го її елемента,

,

внаслідок чого

інакше кажучи,

Остання рівність показує, що і І належать до одного і того ж суміжного класу за модулем і тому на підставі

теореми 2 §5

Якщо - просте число, то і теорему Ейлера можна формулювати так:

ТеоремаФерма. Якщо - будь-яке просте число і - довільне ціле число, що не ділиться на ,то

Часто теорему Ферма подають в такій формі:

Якщо - просте число, то

Якщо , то справедливість останньої конгруенції очевидна. Якщо , то остання конгруенція одержується з попередньої домножуванням на , що конгруенції не порушує.