Означення

Пошукова робота

на тему:

Визначники та їх властивості

План

• Визначення матриці.
• Означення визначника.
• Обчислення визначників другого і третього порядку.
• Властивості визначників.

ВИЗНАЧНИКИ (ДЕТЕРМІНАНТИ)

Означення

Означення. Сукупність чисел, які розташовані у вигляді таблиці із рядків та стовпчиків називається матрицею розміру

.

Коротко матриця з елементами позначається Якщо кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , то така матриця називається квадратною, а число її рядків – її порядком.

Матриця називається одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи є нулями. Одиничну матрицю будемо позначати буквою Матриця називається діагональною, якщо всі її елементи-нулі, крім елементів головної діагоналі. Матриця називається Матрицею трикутного вигляду називається матриця, в якої вище або нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Якщо рядки матриці поміняти на стовпчики, а стовпчики на рядки, то така матриця називається транспонованою до даної і позначається

.

Символ в математиці означає сумування. Так,

Індекс називається індексом сумування.

Мають місце такі правила сумування:

1)

2)

3)

Означення. Визначником (детермінантом) квадратної матриці називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:

1) Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї матриці.

2) Визначником матриці порядку називається число

(1.1)

де детермінант матриці порядку що одержується із шляхом викреслювання -го рядка та -го стовпчика. Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами -го рядка, де Ця формула зводить визначник матриці -го порядку до обчислення визначників квадратних матриць -го порядку, а далі, за тією ж формулою ми виразимо через визначники матриць порядку . Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого порядку, для яких детермінант

визначено безпосередньо.

Числа називаються алгебраїчними доповненнями до елементів

Можна також розкладати визначник за елементами -го стовпчика за формулою

(1.2)

Застосуємо наше визначення до матриць порядку 2 і 3.

Для матриці порядку 3

очевидно

і

Два рядки (стовпчики) матриці називаються пропорційними, якщо один з рядків (стовпчиків) одержується множенням всіх елементів іншого рядка (стовпчика) на одне і те саме число, відмінне від нуля. Це можна записати так:

,

де - -й рядок; ; , а .

Рядок називається лінійною комбінацією рядків , якщо , де хоч би одне з чисел відмінне від нуля.

Поиск по сайту: