Гільбертовий простір. Теорема про ізоморфізм

Означення: Повний евклідовий простір нескінченного числа вимірювань називається гільбертовим простором.

Цей простір має ім'я відомого німецького математика Д. Гільберта (1862-1943р.р.).

Означення: Таким чином, гільбертовим простором називається сукупність елементів будь-якої природи, яка задовольняє наступним умовам (аксіомам):

I. є евклідовий простір (тобто лінійний простір з заданим скалярним добутком).

II. Простір - повний за метрикою

.

III. Простір - нескінченновимірний, тобто в ньому для будь-якого можна знайти лінійно незалежних елементів.

Найчастіше розглядаються сепарабельні гільбертові простори, тобто простори, які задовольняють ще одній аксіомі.

IV. Простір - сепарабельний, тобто в ньому існує зліченна всюди щільна множина.

Прикладом сепарабельного гільбертового простору є дійсний простір _.

Означення: Два евклідових простора, та , називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можно встановити взаємно однозначну відповідність таку, що якщо

то

Інакше кажучи, ізоморфізм евклідових просторів - це взаємно однозначна відповідність, що зберігає як лінійні операції, визначені в цих просторах, так і скалярний добуток.

Як відомо, будь-які два -вимірних евклідових простора ізоморфні між собою і, отже, кожний такий простір ізоморфний арифметичному простору . Евклідові простори нескінченного числа вимірів не обов'язково ізоморфні один одному. Наприклад, простори та між собою не ізоморфні, це слідує, наприклад, з того, що перший з них повний, а другий ні. Але має місце наступна теорема.

Теорема3. Будь-які два сепарабельні гільбертові простори ізоморфні між собою.

Доведення. Покажемо, що кожен гільбертовий простір ізоморфний простору . Тим самим буде доведено твердження теореми. Виберемо в довільну повну ортогональну нормовану систему и поставимо у відповідність елементу , сукупність , його коефіцієнтів Фур'є за цією системою.Тому що то послідовність деякий елемент з Обернено, за теоремою Рісса-Фішера будь-якому елементу з відповідає деякий елемент , який має числа , своїми коефіцієнтами Фур'є. Встановлена відповідність між елементами з та взаємно однозначна. Далі якщо

то

тобто сума переходить в суму, а добуток на число - в добуток відповідного елемента на це ж число.

Нарешті, з рівності Парсеваля слідує, що

Дійсно, з того, що

та

випливає (4).

Таким чином, встановлена відповідність між елементами та дійсно є ізоморфізмом.Теорему доведено.

Доведена теорема означає, що з точністю до ізоморфізму, існує лише один сепарабельний гільбертовий простір та що простір можна розглядати як його «координатну реалізацію», подібно до того, як -вимірний арифметичний простір зі скалярним добутком представляє з себе координатну реалізацію евклідового простору вимірів, заданого аксіоматично.

Поиск по сайту: