Логические методы обучения мат-ке: индукция и дедукция

Различают два основных вида умозаключения: индукцию и дедукцию.

Индукция (от лат. – наведение, побуждение)

1) – это умозаключение, при котором из двух или нескольких единичных или частных суждений, получают новое общее суждение (вывод)

2) – это метод иссл-я, при кот-м, желая изучить некоторое множество объектов, изучают отдельные объекты (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов.

3) – это форма изложения материала в литературном источнике, беседе, в процессе обучения, когда от менее общих положений, приходят к более общим положениям (заключение, вывод).

Индукция: – полная (при которой не исчерпываются все частные случаи);

- неполная (основанное на рассмотрение всех единичных и частных суждений).

Существует (экспериментальная) исследовательская индукция

1) метод сходства;

2) метод различия;

3) метод остатков;

4) метод сопутствующих изменений.

Дедукция – (от латинского выведение), форма умозаключения, при которой от одного общего и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.

Виды умозаключения: 1) от более общего положения, к менее общему положению; 2) от общего положения к общему 3) от единичного к частному.

Математика яв-ся дедуктивной наукой. Взаимосвязь индукции и дедукции выступает в методе изучения мат-ких предложений, называемым методом совершенной индукции.

Используется, когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем.

Этапы: 1)Наблюдение и опыт; 2)гипотеза; 3) обоснование (доказательство) гипотезы.

Дедуктивное доказательство, называется методом мат.индукции. (основанного на принципе мат.индукции): если какое-либо утв-е, сформул-ное для натур-го числа n, проверено для n=1 и из допущения его истинности для некоторого значения n=k следует его истинность для значения n=k+1, то утверждение верно для любого натурального n.

11. Логические методы обучения мат-ке: абстрагирование и конкретизация. В процессе познават-й деят-ти человек отражает объекты и явления реальной действительности либо в форме чувственных образов, либо в форме понятий, явл-щихся «приближенными снимками» этих реальных объектов или явлений. Понятия образуются в сознании человека в результате отвлечения от несущественного в изучаемом объекте, а также в результате обобщения, которое упрощает изучение данного объекта, обычно представленное в реальном мире весьма многообразно. Эти умственные построения в процессе познания называют научными абстракциями.

С точки зрения психологии «абстракция – это, по существу, тоже специфическая форма анализа, форма, которую анализ приобретает при переходе к абстрактному мышлению в понятиях».

Абстракция может выступать в двух различных формах:

1)форма имеет место в чувственном познании предмета (отвлечение от одних свойств предмета, и выделение другие его свойства). Н-р: рассматривая предмет как геометрическое тело, мы обращаем внимание только на его форму, размеры, положение на плоскости.

2)абстракция выходит за пределы чувственного воображения (простой отбор или преобразование тех или других свойств явления или предмета). Н-р: при классификации треугольников в зависимости от их углов, учащийся абстрагируется, например, от свойства треугольника «иметь различные стороны», оперируя уже абстрактным понятием «треугольник».

Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Уже на весьма ранних ступенях обучения учитель может и должен обращать внимание учащихся на природу абстракции (а значит, и природу математики). Даже простое равенство 5*3=15 способно ярко проиллюстрировать природу абстракции. Задумаемся над вопросом, что может означать запись 5*3=15, какое конкретное содержание она отражает? Это равенство может означать стоимость трёх карандашей; путь, пройденный пешеходом за три часа; площадь поля прямоугольной формы и т.д. Важно, чтобы учитель обратил внимание учащихся на этот знаменательный факт и помог осмыслить его.

Т.о., абстрагирование является важнейшим методом математического познания, а значит, и методом обучения математике. Для того чтобы учащиеся усвоили этот метод изучения математики, необходимо постоянно подчеркивать и выявлять его проявление в процессе изучения.

Процессу абстрагирования противоположен процесс конкретизации. Конкретизация – это мыслительная деят-ть, при кот-й односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.

Например, абстрактно для сложения рац-ых чисел имеет место равенство a+b=b+a. Конкретно это свойство может быть иллюстрировано равенством 5,2+7,3=7,3+5,2.

12.Специальные методы обучения мат-ке: аксиоматический метод. Специальные методы обучения математике – это адаптированные для обучения основные методы познания, применяемые в самой мат-ке, характерные для мат-ки методы изучения действительности (построение мат-ких моделей, способы абстрагирования, используемые при построении таких моделей, аксиоматический метод).

Сущность. Метод установления истинности предложений заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами) устанавливается с помощью логического доказательства. В логическом доказательстве используются правила логического следования, гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное использование этих правил вывода превращает, таким образом, построенную математическую теорию в дедуктивную (аксиоматическую) систему.

Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что, из чего следует», для установления истинности предложений специфическим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся. Идея аксиоматического построения геометрии была предложена и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенные признаки объекта и абстрагироваться от несущественных. Если эти признаки подобраны хорошо, то сам объект ими полностью определяется. Т.е. вместо того, чтобы говорить о том, что такое точка, прямая, плоскость, можно говорить о свойствах, которыми они обладают.

Аксиоматический метод построения геометрии не является трудным для понимания школьников. Аксиомы можно рассматривать как правила игры в геометрию. Если правила четко определены, то играть по ним легче, чем при отсутствии правил.

В различных учебниках геометрии используются различные аксиомы, наиболее важные из них: В учебнике Л.С Атанасяна в качестве основных понятий геометрии используются понятия точки и прямой. Первые аксиомы относятся к взаимному расположению точек и прямых.

Одним из основных принципов, на котором должна строиться аксиоматика школьного курса геометрии, пригодная для первоначального курса геометрии, является принцип элементарности.

Поиск по сайту: