Тема 3. ОПТИМІЗАЦІЯ НЕПЕРЕРВНИХ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

Складові постановки задачі оптимізації. Класифікація та типізація задач оп-тимізації. Типові задачі оптимізації. Застосування градієнтних методів пошуку. Загальна характеристика алгоритмів керування такими об’єктами. Алгоритми релаксації, найшвидшого спуску та градієнта. Детерміновані алго-ритми Гаусса-Зейделя, сканування та симплекса. Структурні схеми реалізації таких алгоритмів. Алгоритми оптимального керування з використанням С- та А-моделей.

Оптимізація неперервних технологічних процесів (НТП) – найбільш скла-дна задача, яка вир-ішується в такій послідовності:

1) визначається об’єкт в фізичному та часовому просторі;

2) вибірається критерій керування і формулюється мета управління та визначається об’єкт у просторі змінних стану;

3) синтезується структура моделі об’єкту;

4) виконується ідентифікація параметрів моделі;

5) синтезується та реалізується алгоритм керування.

Основні етапи, за винятком другого та п’ятого, у тому чи іншому вигляді розглянуті у попередніх дисциплінах або розділах цієї дисципліни, тому зупи-нимося більш докладно на цих етапах.

Постановка задачі синтезу алгоритму оптимального керування в загальному випадку має такий вигляд:

I = j (х,u,z,a) à opt (u ÎW ) Þ u* або х* (14)

f(x,u,z,b)=0, (15)

W: 0 ³ h(x,u,z), (16)

g(x,u,z)=0, (17)

де I – вектор критеріїв керування; x, х* – вектор змінних стану об’єкта та його оптимальне значення; z – вектор збурень; u, u* –вектор керувань та його опти-мальне значення; j – цільова функція; f – вектор-функція, що є математичною моделлю(ММ) технологічного об’єкта керування (ТОК); h, g – вектор-функція обмежень відповідно нерівностей та рівностей, які ураховують ресурс, виді-лений на керування; a, b – вектор параметрів відповідно цільової функції (14) і ММ (15).

Таким чином, задача (14) потребує оптимізації I шляхом вибору відповід-них керувань, які задовольняють обмеженням W. В залежності від особливо-тей векторів, що входять в задачу (14) їх класифікують таким чином:

за кількістю критеріїв управління: однокритеріальні (I – скляр) та ба-гатокритеріальні (I – вектор) задачі оптимізації;

за видом моделі об’єкта: задачістатичної та динамічної оптимізації; у перших f – функція, у других f – оператор. В останньому випадку вирішується варіаційна задача визначення векторної функції u* (t), причому критерій і об-меження стають функціоналами, а обмеження типу рівностей – крайовими умовами;

за повнотою інформації про об’єкт: об’єкти з повною інформацією (ОПІ),об’єкти з неповною інформацією (ОНІ) та погано визначені об’єкти (ПВО).До перших відносяться такі, для яких визначені f, h, g і відомі x та z. У об’єктів з неповною інформацією невідомі деякі складові вектора z, вектор-функції h тавектора параметрів b моделі f поодинці або разом. До погано ви-значених об’єктів відносяться об’єкти з невідомою математичною моделлю f і неповністювідомими складовими вектора z.

Для оптимізації ОПІ застосовують аналітичні алгоритми або алгоритми математичного програмування без використання зворотнього зв’язку (ЗЗ). До аналітичних відносяться алгоритми, що базуються на таких методах: класи-чного аналізу, невизначених множниках Лагранжа, варіаційного обчислення і принципу максимуму. Перший використовується при відсутності в задачі оп-тимального керування будь-яких обмежень, другий – при наявності обмежень типу рівність, третій – при наявності обмежень типу рівностей і нерівностей. До методів математичного програмування відносяться методи: лінійного про-грамування (застосовують для процесів, що описуються лінійними алгебраї-чними рівняннями з критерієм управління у вигляді лінійної функції); геометричного програмування (застосовують для процесів, що описуються співвідношеннями у вигляді алгебраїчних функцій-поліномів); динамічного програмування (застосовують для багатостадійних процесів з критерієм опти-мальності у вигляді адитивної функції).

Для оптимізації ОНІ – застосовують також алгоритми, але з вико-ристанням ЗЗ, який у цих системах застосовують або лише для корегування траєкторії х (t) (керування з С-моделлю), або крім траєкторії корегуються також параметри моделі (керування з А-моделлю). Керувальний пристрій в цій системі (рис.12) містить блок оцінювання змінних стану БОЗС, блок корекції БК, математичну модель ММ і блок оптимального керування БОК. Однією з основних в таких системах є задача оцінювання вектора стану об’єкта, яку виконує блок БОЗС. Необхідність використання цього блоку пов’язана, насам-перед, з тим, що кількість вимірювальних змінних, як правило, менша за кіль-кість компонент вектора стану.

Для оптимізації ПВО будують системи з пошуковими алгоритмами. По-шукові методи широко використовують в задачах нелінійного програмування (НП), коли і критерій і обмеження нелінійно залежать від вхідних змінних або їх важко обчислити. Методи НП розподіляють на такі класи: градієнтні, без градієнтні та випадкового пошуку, причому градієнтні методи використовують, як правило, коли пошук ведеться на моделі, а інші – при пошуку на об’єкті.

В основі градієнтних методів лежить аналіз і обчислення похідної ціль-ової функції I( u ). Найбільше поширення серед градієнтних методів отримали три методи: релаксації, градієнта і найшвидшого спуску. В методі релаксації пошук ведуть за осьовими напрямками, на яких змінюється тільки одна скла-дова вектора управлінь, тому цей метод вимагає найменших обчислювальних витрат порівняно з іншими градієнтними методами і найбільшого часу пошуку. В методі градієнта напрям пошуку визначає градієнт, тому час пошуку тут найменший, а обчислювальні витрати найбільші. В методі найшвидшого спуску на початку напрям руху визначає градієнт, але далі напрям руху не змінюється до знаходження екстремуму за цим напрямком. Тому по обчислювальним витратам і часу пошуку цей метод займає середню позицію. Спільні недолікиградієнтних методів:

1) вони виявляють тільки локальний екстремум;

2) можливе «застрявання» процедури пошуку у будь-якій точці обмеження типу нерівностей цільової функції або у будь-якій точці «яру» цільової функції, особливо коли напрямок «ярів» не співпадає з осьовими лініями;

3) процедура пошуку не ефективна у разі, коли пошук ведеться без по-середньо на об’єкті.

У безградієнтних методах пошуку використовують інформацію, отрима-ну не при аналізі похідних, а від порівняння значення критерію оптимізації (КО), визначеного на двох послідовних кроках. Найчастіше використовують такі методи багатовимірного (з кількома вхідними змінними) безградієнтного пошуку: покоординатного спуску (Гаусса-Зейделя), сканування (перебору) або симплексний.

Метод Гаусса-Зейделя. Це безградієнтний аналог метода релаксації, відмі-нність якого полягає у тому, що на кожному кроці аналізують не знак похідної, а значення КО. Метод Гаусса-Зейделя має також недоліки, що і метод рела-ксації, однак потребує менше обчислень за рахунок відсутності розрахунків похідної цільової функції.

Метод сканування (англ. scan – поле зору). Він полягає у послідовному пе-регляді значень КО в наперед обраних точках поверхні відгуку цільової фун-кції, причому точність методу визначається тим, як щільно розташовані вибрані точки. Основна перевагаметоду – це можливість визначення глобального кри-терію незалежно від виду поверхні відгуку цільової функції. Недолік– велика кількість обчислень.

Симплексний метод. Він полягає у визначення КО у вершинах випуклого багатогранника – симплекса, під яким у n-мірному просторі розуміють багато-гранник, що має n+1 вершин. У 2-мірному просторі – це трикутник, у 3-мірному – піраміда. У процесі руху виключають вершини симплексів з найбільшими значеннями цільової функції (при пошуку мінімуму) і на протилежній грані будують новий симплекс, що відрізняється від попереднього розташуванням тільки однієї вершини. Цей метод є безградієнтним аналогом методу градієнта. Його недолікиспівпадають з недоліками метода градієнта за винятком того, що в цьому випадку, по-перше, не треба розраховувати часткові похідні і градієнт, а, по-друге, його реалізація не потребує істотного збільшення обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності задачі.

Література для самостійної роботи: [4] С.366-381; [11] С.87-97; [1] С.28-30; [5] С.230-235.

Контрольні питання

1. Які компоненти входять у постановку задачі оптимізації неперервних тех-нологічних процесів? За якими ознаками класифікуються ці задачі? Які існу-ють класи алгоритмів оптимального керування і залежно від чого їх вибира-ють?

2. Які об’єкти належать до об’єктів з повною інформацією та які алгоритми оптимального керування застосовують на таких об’єктах? Наведіть їх порівня-льну оцінку.

3. Які об’єкти належать до об’єктів з неповною інформацією та які алгори-тми оптимального керування застосовують на таких об’єктах? Наведіть їх порі-вняльну оцінку.

4. В яких випадках, розв’язуючи задачі оптимального керування, використо-вують пошукові алгоритми? Які існують три класи таких алгоритмів? Які ме-тоди належать до градієнтних і коли їх рекомендується використовувати? Які загальні недоліки цих методів?

5. У чому полягає суть методу релаксації? Як у ньому визначається початок і кінець пошуку? Які застосовують стратегії зміни кроку пошуку? Які недолі-ки і переваги цього методу перед іншими градієнтними методами?

6. У чому полягає суть методу градієнта? Як у ньому визначається початок і кінець пошуку? Які застосовують стратегії зміни кроку пошуку? Які недоліки і переваги цього методу перед іншими градієнтними методами?

7. У чому полягає суть методу найшвидшого спуску? Як у ньому визнача-ється початок і кінець пошуку? Які застосовують стратегії зміни кроку пошу-ку? Які недоліки і переваги цього методу перед іншими градієнтними метода-ми?

8. Які методи належать до безградієнтних і коли їх рекомендується викори-стовувати? У чому перевага цих методів перед градієнтними? У чому полягає суть методу покоординатного спуску? Який існує градієнтний аналог цього ме-тоду? Які недоліки і переваги цього методу?

9. У чому полягає суть полягає методу сканування? Які існують методи зме-ншення кількості обчислень при застосуванні цього методу? Які його недолі-ки і переваги?

10. У чому полягає суть методу симплекса? Від чого залежить вид симплек-са? Що таке правильний симплекс і коли він використовується? Який існує градієнтний аналог цього методу? Які недоліки і переваги цього методу?

11. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування для об’єкта з повною інформацієюю. Коли можно застосувати в цій системі ал-горитм класичного аналізу і яка послідовність розв’язання задачі оптимального керування з допомогою цього алгоритму?

12. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування для об’єкта з повною інформацією. Коли можна застосувати в цій системі алго-ритм з множниками Лагранжа і яка послідовність розв’язання задачі оптималь-ного керування з допомогою цього алгоритму?

13. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування для об’єкта з повною інформацією. Коли можна застосувати в цій системі алгоритм, що базується на принципі максимуму?

14. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування для об’єкта з повною інформацією. Коли в цій системі застосовують алгоритми, що базуються на методах математичного програмування?

15. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з С-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі ви-користовується і як функціонує блок оцінювання змінних стану?

16. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з С-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі у разі розв’язання задач динамічної оптимізації використовується і як функціонує блок математичної моделі?

17. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з А-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі вико-ристовується і як функціонує блок оцінювання змінних стану?

18. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з А-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі вико-ристовується зворотний зв’язок?

19. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з А-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі ви-користовується і як функціонує блок корекції?

20. Наведіть та опишіть структурну схему системи оптимального керування з А-моделлю для об’єкта з неповною інформацією. Для чого в цій системі у разі розв’язання задач динамічної оптимізації використовується і як функціонує блок математичної моделі?

Поиск по сайту: