Уравнения и неравенства с параметрами

При решении уравнений, неравенств и систем тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами используются аналитический и графический методы решения.

Пример 1. Найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет решений.

Решение.

Полученное уравнение не имеет решений, если

Ответ.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Применяя формулы понижения степени, получаем:

Найдем контрольные значения параметра, то есть, такие значения параметра при которых правая часть уравнения принимает значения 0 или 1, так как если или то уравнение не имеет решений.

Если то если то Два контрольных значения параметра и три промежутка, на которые эти значения разбивают ось параметров, приводят к рассмотрению следующих пяти случаев:

1) то и корней нет.

2) то уравнение принимает вид откуда находим

3) то В этим случае имеем:

Так как то а тогда Значит уравнение имеет решение. Находим: откуда

4) то уравнение принимает вид откуда находим

5) то и корней нет.

Ответ. Если то корней нет; если то

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Введем новую переменную получаем уравнение:

Первым контрольным значением параметра будет значение при котором обращается в нуль старший коэффициент:

При исходное уравнение принимает вид откуда находим то есть и, следовательно,

При для квадратного уравнения находим дискриминант. при новые контрольные значения параметра. Заметим, что при или уравнение не имеет корней.

Рассмотрим случай Так как , то уравнение имеет два действительных корня . Так как то должны выполняться следующие двойные неравенства:

Значение удовлетворяет неравенству лишь при В самом деле, если то ; если то и тем более то есть

Если то уравнение принимает вид и, следовательно,

Будем теперь искать значения параметра из множества которые удовлетворяют двойному неравенству то есть системе

Полученная система равносильна совокупности систем неравенств:

Решаем первую систему полученной совокупности. Имеем

и далее откуда находим

Решаем вторую систему полученной совокупности. Имеем

и далее откуда находим

Таким образом, получаем следующее решение: Это означает, что на множестве уравнение имеет решение только в случае, если Это решение имеет вид: Заметим, что эта запись включает в себя и рассмотренный выше случай, когда

Если то уравнение не имеет корней.

Ответ. Если то ;

если то

если или , то уравнение не имеет корней.

Пример 4. Найти все значения параметра , при которых каждое из уравнений

имеет решение и любой корень первого является корнем второго и наоборот.

Решение. Пусть корень первого. Тогда при любом целом также является корнем первого уравнения.

Обозначим

Второе уравнение будет иметь вид:

Если то принимает не менее трех различных значений. (На самом деле различных значений не менее пяти. Это можно увидеть на круге, так как точки образуют правильный десятиугольник, а равные синусы имеют точки, симметричные относительно вертикальной оси.) Но если квадратный трехчлен имеет более двух корней, то он тождественно равен нулю.

Значит, и или

Рассмотрим эти случаи.

1) . Получаем уравнения

Первое уравнение имеет корень не удовлетворяющий второму уравнению.

2) Получаем одинаковые уравнения

Ответ.

Пример 5. Решите систему уравнений

Решение. Заменив первое уравнение данной системы суммой, а второе уравнение – разностью первого и второго уравнений, получим систему, равносильную исходной:

или

Полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда параметр удовлетворяет следующей системе неравенгств:

Второе и четвертое неравенства последней системы выполняются при любых значениях , так как квадратные трехчлены, содержащиеся в левых частях указанных неравенств имеют отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. Значит, система равносильна следующей системе

Решение системы имеет вид: Таким образом, только при этих значения параметра имеет решения исходная система.

При имеем:

Ответ. Если то решений нет;

если то

где

Тестовые задания (по 10 баллов)

513. Все значения , при которых уравнение имеет корни, составляют отрезок ______.

514. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

515. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

516. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

517. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

518. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

519. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

520. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет четное число корней на отрезке .

521. Решить уравнение

522. Решить уравнение

523. Решите неравенство с параметром а: .

524. Решить уравнение

525. Выяснить, при каких значениях параметра система уравнений не имеет решений.

Задачи II уровня (по 30 баллов)

526. Решите уравнение: .

527. Решите уравнение: .

528. Решите уравнение: .

529. Решите уравнение: .

530. Решите уравнение с параметром : .

531. Определите, при каких значениях уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

532. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень на .

533. Определите, при каких значениях уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

534. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет четное число корней на отрезке .

535. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет четное число корней на отрезке .

536. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет четное число корней на отрезке .

537. Доказать, что уравнение не имеет решений при

538. Выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке в зависимости от .

Решение. Проведя замену переменной построим график функции на отрезке . (Постройте самостоятельно).

Заметим, что при всех уравнение имеет ровно два решения на отрезке , а уравнение имеет на этом отрезке ровно одно решение. Осталось выяснить, сколько точек пересечения имеют прямые с построенным графиком, и анализируя, какие абсциссы имеют эти точки, получаем ответ.

Ответ. При решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения; при два решения; при нет решений.

539. Выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке в зависимости от .

540. Выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке в зависимости от .

541. Выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке в зависимости от .

542. Выяснить, сколько корней имеет уравнение на отрезке в зависимости от .

543. Определите все значения , при которых уравнение имеет решение. Найдите эти решения.

544. При каких значениях уравнение имеет решение? Найдите эти решения.

545. Решить уравнение

546. Решите систему уравнений с параметром :

547. Решите систему уравнений с параметром :

548. Решите систему уравнений с параметром :

549. Решите систему уравнений с параметром а:

550. Решите неравенство с параметром : .

Задачи III уровня (по 40 баллов)

551. Решите уравнение с параметром : .

552. Решите уравнение с параметром : .

553. Решите уравнение с параметром : .

554. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет нечетное число корней.

555. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет нечетное число корней.

556. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы один корень.

557. Выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы один корень.

558. Выяснить, существуют ли такие значения параметра , при которых уравнение имеет ровно 4 различных корня на отрезке .

559. Доказать, что уравнение не имеет решений при

560. Выяснить, при каких значениях параметра неравенство выполняется при всех значениях .

561. Выяснить, при каких значениях параметра неравенство не имеет решений на отрезке .

562. Выяснить, при каких значениях параметра неравенство выполняется на отрезке .

563. При каких значениях уравнение имеет решения? Найдите эти решения.

564. При каких значениях уравнение имеет решения? Найдите эти решения.

565. Определите, при каких значениях уравнение имеет решения? Найдите эти решения.

566. Выяснить, существуют ли такие значения параметров и , что при всех значениях выполняется неравенство

567. Выяснить, существуют ли такие значения параметров и , что при всех значениях выполняется неравенство

568. Выяснить, существуют ли такие значения параметров и , что при всех значениях выполняется неравенство

569. Найдите все значения параметра , при которых уравнение следует из уравнения

570. Найдите все значения параметра , при которых уравнение следует из уравнения Указание. Заметьте, что корень уравнения

571. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство не имеет решений.

572. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство не имеет решений.

573. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство не имеет решений.

574. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

575. При каких значениях система имеет единственное решение

576. При каких значениях система имеет единственное решение

577. Решите неравенство с параметром : .

578. При каких значениях система

имеет ровно четыре решения?

579. Определите: (1) при каких значениях существует такое число что уравнение имеет решения; (2) при каких значениях это уравнение имеет решения при любом значении

580. При каких значениях параметра система уравнений

имеет хотя бы одно решение?

581. Решить систему уравнений с параметрами :

Поиск по сайту: