Маятниковый метод

Маятником называется любое твердое тело, способное совершать колебания около горизонтальной оси. В теории колебаний важную роль играет модель математического маятника. Это идеальная модель, то есть модель, которую можно реализовать лишь в некотором приближении.

Математический маятник представляет собой материальную точку, с массой m,

подвешенную на нерастяжимой и невесомой нити длиной l (рис.).

Рис. Математический маятник

Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

(1)

Если задать начальные условия , , то его решением является гармоническая функция с периодом колебания

(2)

Интеграл в этом выражении относится к классу эллиптических первого рода и не приводится к элементарным функциям. Обычно, чтобы получить решение в явном виде, подынтегральную функцию разлагают в ряд по , а затем интегрируют. В нашем случае такая процедура приводит к выражению:

(3)

Решение получается сложным, так как уравнение (1) является нелинейным. Однако при малых начальных углах отклонения можно положить sin , Тогда уравнение (1) примет вид:

(4)

Для него период колебаний равен:

(5)

При малых амплитудах период колебаний не зависит от амплитуды. Это свойство маятника называется изохронностью.

Поскольку математический маятник является идеальной моделью ее, как правило, невозможно реализовать с необходимой степенью точности. Поэтому на практике используют физический маятник.

Поиск по сайту: