Объемная гравитационная и точечная масса

Считаем, что массы, заключенные в некоторых областях пространства в объеме V, распределены в этом пространстве непрерывно с некоторой объемной плотностью :

, где и - элементарные объем и масса, взятые в некоторой точке .

- является функцией точки M.

Внутри поверхности S, ограничивающей объем V, функция является непрерывной и ограниченной. Вне поверхности S эта функция равна нулю, т.е. при переходе из внутренней области во внешнюю значение меняется скачкообразно.

Общая масса: , , .

Размерами тела можно пренебречь, когда расстояние между наиболее удаленными двумя точками тела намного меньше, чем расстояние между точками M и P, в которых рассматривается притяжение тела, тогда массу тела можно принять за точечную и помещенную в точку.

Масса единицы поверхности (поверхностная плотность) – масса, заключенная между двумя бесконечно близкими поверхностями:

, , [кг∙м^-2]

Масса единицы длины (линейная плотность) – тело произвольного сечения, малой пощади, единичной длины.

, ;

Для цилиндра:

Свойства потенциала точечной массы:

1. Функция V(P) конечна, непрерывна и однозначна во всем пространстве, за исключением точки M, в которой она превращается в бесконечность;

2. Частные производные любого порядка от функции V(P) по координатам точки P такие же функции конечные непрерывные и однозначные во всем пространстве, за исключением точки M, где они превращаются в бесконечность;

3. Когда точка P стремится к бесконечности, функция V(P) и любая частная производная от нее будет стремиться к нулю - .

4. Во всем пространстве, за исключением точки M, функция V удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Потенциал центробежной силы