Пример 7. Кольца Ньютона

В установке для наблюдения колец Ньютона на вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы с радиусом кривизны имеется сошлифованный плоский участок радиуса . Длина волны падающего света равна .

Вывести формулу для радиусов темных колец и зависимости от этого радиуса расстояния между ними в области .

Подобная ситуация возникает и в том случае, если сошлифованного участка нет (пример 8), но линза прижата к стеклянной пластине.

В отраженном свете интерференционная картина является результатом сложения когерентных волн 1 и 2, отраженных от сферической поверхности линзы и от поверхности стеклянной пластинки (рис.8,б). Интенсивности волн примерно одинаковы, поэтому наблюдается довольно четкая (контрастная) система светлых и темных колец.

. Темные кольца радиуса r_m образуются в тех местах, где оптическая разность хода Dl_m волн 2 и 1 (см. рис.8, а) равна нечетному числу полуволн:

. (9)

Здесь - толщина воздушной прослойки под точкой D, в которой происходит деление падающей волны на отраженную и преломленную. Толщина под кольцом радиуса остается постоянной. (В случае цилиндрической линзы интерференционные полосы будут прямолинейными.)

Выразим через радиус темного кольца rm и радиус R сферической поверхности линзы. Для этого воспользуемся рис.8, б и, применяя теорему Пифагора к треугольникам AOD и COF, приравняем квадраты гипотенуз.

На практике линза соприкасается с пластинкой не в одной точке, а по некоторой площади , где - радиус центрального темного пятна (m = 0, b = 0, Dl = l/2, волна 2 на рис.8, а, отражаясь от стеклянной пластинки, испытывает изменение фазы на ), а - высота сегмента с радиусом основания . Раскрывая скобки и приводя подобные, получим:

Учитывая, что , пренебрежем квадратами малых величин и величиной по сравнению с . После преобразования получим:

Теперь, с учетом (9), легко получить формулу для радиуса темных колец

,

При малом радиус колец с увеличением m изменяется по закону

, (10).

при этом ширина колец Dr_m = r_m+1 – r_m уменьшается. Кроме того, радиусы колец зависят от l, поэтому при наблюдении в белом свете интерференционная картина будет окрашенной, и фиолетовые кольца при каждом m имеют наименьший, а красные кольца - наибольший радиус. Чем больше m, тем больше различие в радиусах.

В области, где выполняется соотношение также можно пользоваться формулой (10). Для получения формулы связи расстояния между кольцами с радиусом кольца найдем разность квадратов радиусов колец:

.

Поскольку расстояние между кольцами не велико, можно записать:

Таким образом, с учётом (10), имеем:

.

После упрощения получаем:

.

Поиск по сайту: