Задание. 1. Напишите процедуры для нахождения корней уравнения методом простой итерации (SITER) и методом Ньютона (NEWTON)

1. Напишите процедуры для нахождения корней уравнения методом простой итерации (SITER) и методом Ньютона (NEWTON). Исходные параметры для процедур - начальное приближение , точность , максимальное число итераций, имена процедур-функций, в которых вычисляются , , , а также признак, позволяющий судить о том, найден корень или нет. Выходными данными являются значение корня и число итераций.

2. Напишите программу, содержащую обращение к процедурам SITER и NEWTON. Составьте процедуры функции для вычисления конкретных функций. Сравните требуемой число итераций в методе простой итерации и методе Ньютона. Используйте программы для решения уравнений вида:

; ;

; .

Предварительно необходимо отделить корни, проверить все условия сходимости для данного метода, выбрать «хорошее» начальное приближение для корня. Значения точности следует задавать в разумных пределах не выше погрешности вычислений.

2.3. Решение систем нелинейных уравнений.

Если сравнивать скорости сходимости различных методов, то можно отметить, что метод Ньютона сходится значительно быстрее, чем другие методы. Это его свойство является одной из причин тог, что метод Ньютона считается наилучшим методом общего назначения для решения нелинейных уравнений. Однако, как и всем итерационным методам, ему свойственны ограничения: даже, если метод сходится к решению, то нельзя сказать, единственное ли это решение или он сходится к частному решению, а уравнение имеет много решений.

Учитывая выше сказанное, для решения системы из нелинейных уравнений приведем описание метода Ньютона; - мерный вариант метода обычно называют методом Ньютона-Рафсона.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений с переменными :

(1)

Обозначим вектор функций , а вектор переменных . Тогда систему уравнений (1) можно записать в компактной форме вида

(2)

Предположим, что система уравнений имеет решение . Разложим каждую функцию в ряд Тейлора в малой окрестности решения

, .

Пренебрегая членами разложения более высокого порядка, получим

(3)

- (4)

Матрица Якоби функции или якобиан.

Если в (3) приближенное равенство заменить на точное, то будет иметь смысл приближенного значения корня, т.к. мы пренебрегли членами разложения более высоких порядков. Введем верхний индекс для обозначения последовательных итераций, тогда из (3) получим

. (5)

В результате алгоритм Ньютона-Рафсона для системы уравнений представляется формулой

.

Опечатка! Здесь вместо М должна быть матрица, обратная к М! (6)

Как видно из (6), метод Ньютона-Рафсона имеет дополнительный недостаток, заключающийся в необходимости вычисления якобиана (4).

Поиск по сайту: