Задание. Составьте программу NEWTON для решения системы нелинейных уравнений

Составьте программу NEWTON для решения системы нелинейных уравнений. Найдите решение следующих систем. Используйте различные начальные приближения и проследите за сходимостью.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Опечатка в последней системе: скорее всего х ₂- х ₁-1=0,

тогда точное решение (1;2)

2.4. Дифференциальные уравнения.

Задача решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка состоит в нахождении функции , удовлетворяющей этому уравнению при заданном начальном условии на отрезке . Однако в явном виде решение дифференциального уравнения удается найти редко. Поэтому широко используются для решения численные методы. При численном решении уравнения искомая функция находится в виде таблицы значений ,

Одноступенчатые методы позволяют по известному значению функции в точке найти приближенное значение функции в точке . Т.е. в одношаговых методах используется информация только об одной предыдущей точке и значит, применяя данный метод необходимое число раз, последовательно находят значения и т.д. К одношаговым методам относятся методы Рунге-Кутта различного порядка.

Многошаговые методы для вычисления используют информацию о функции и её производных в нескольких ранее вычисленных точках. Если задано только одно начальное значение , то недостающие для применения многошагового метода начальные значения находят с помощью одного из одношаговых методов. К многошаговым методам относятся метод Адамса, некоторые типа прогноза и коррекции и др.

Простейший метод численного решения уравнения может быть получен исходя из разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки . Ограничившись двумя членами разложения и учитывая, что имеем расчетную формулу Эйлера

,

Формула Эйлера имеет первый порядок точности, поскольку согласуется только с членами порядка в разложении Тейлора. На практике данный метод применяется не широко из-за неустойчивости и больших погрешностей.

Более точной является формула Эйлера с пересчетом (исправленный метод Эйлера):

,

,

.

Метод согласуется с разложением в ряд Тейлора до членов степени . Значит порядок точности данного метода .

Обе приведенные формулы являются частными случаями семейства методов Рунге-Кутта, описываемых соотношениями

, , .

При этом коэффициенты , , определяются из требования обеспечения наибольшей точности для функций заданного класса.

Самым известным из одношаговых методов является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, обладающий высокой устойчивостью:

,

, ,

, .

Порядок точности данного метода . В частном случае, когда функция зависит только от , метод Рунге-Кутта переходит в формулу Симпсона для вычисления интеграла.

Процесс решения уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка можно представить геометрически следующим образом. В точке вычисляется тангенс угла наклона , используя его, передвигаемся на полшага в точку и вычисляем тангенс угла наклона в этой точке. Используя новый тангенс угла наклона, опять идем из на полшага в точку и снова вычисляем тангенс угла наклона. Затем из точки делаем полный шаг, и в точке вычисляем четвертое значение тангенса наклона. После этого усредняем все четыре значения тангенса угла наклона с весовыми коэффициентами , , , , и беря это среднее значение тангенса угла наклона, делаем окончательно шаг от точки в точку .

В методах Рунге-Кутта не используется информация о предыдущих значениях функции и её производных, а для продвижения на один шаг приходится вычислять значения в нескольких промежуточных точках. Кроме этого, отсутствует эффективный контроль точности получаемых результатов.

Поэтому наряду с методами Рунге-Кутта применяются методы типа прогноза и коррекции. Это многошаговые методы, в которых используются старые значения , , , … и , , , …

Формулы прогноза получаются при замене функции каким-либо интерполяционным полиномом, проходящим через несколько найденных ранее точек, т.е. на интервале производится экстраполирование . Общий вид формул прогноза:

.

Простейшим примером формулы прогноза может служить

.

Формулы коррекции получаются при интерполировании функции на интервале . При этом вычисление значения производится при .

В общем виде формулы коррекции записываются следующим образом

.

Простейшая формула коррекции имеет вид

.

Значение может уточняться в формуле прогноза несколько раз, пока не будет достигнута необходимая точность.

Среди методов прогноза и коррекции наиболее известен метод Адамаса-Башфорта

,

,

и метод Милна

,

.

Неудобным свойством методов прогноза и коррекции является то, что с их помощью нельзя начать решение, имея только одну точку, определяемую начальными условиями. На начальном участке приходится обращаться к методу Рунге-Кутта.

Поиск по сайту: