|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задание. Составьте программу NEWTON для решения системы нелинейных уравненийСоставьте программу NEWTON для решения системы нелинейных уравнений. Найдите решение следующих систем. Используйте различные начальные приближения и проследите за сходимостью.
1. 4. 2. 5. 3. 6.
Опечатка в последней системе: скорее всего х 2- х 1-1=0, тогда точное решение (1;2)
2.4. Дифференциальные уравнения. Задача решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка состоит в нахождении функции , удовлетворяющей этому уравнению при заданном начальном условии на отрезке . Однако в явном виде решение дифференциального уравнения удается найти редко. Поэтому широко используются для решения численные методы. При численном решении уравнения искомая функция находится в виде таблицы значений , Одноступенчатые методы позволяют по известному значению функции в точке найти приближенное значение функции в точке . Т.е. в одношаговых методах используется информация только об одной предыдущей точке и значит, применяя данный метод необходимое число раз, последовательно находят значения и т.д. К одношаговым методам относятся методы Рунге-Кутта различного порядка. Многошаговые методы для вычисления используют информацию о функции и её производных в нескольких ранее вычисленных точках. Если задано только одно начальное значение , то недостающие для применения многошагового метода начальные значения находят с помощью одного из одношаговых методов. К многошаговым методам относятся метод Адамса, некоторые типа прогноза и коррекции и др. Простейший метод численного решения уравнения может быть получен исходя из разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки . Ограничившись двумя членами разложения и учитывая, что имеем расчетную формулу Эйлера
,
Формула Эйлера имеет первый порядок точности, поскольку согласуется только с членами порядка в разложении Тейлора. На практике данный метод применяется не широко из-за неустойчивости и больших погрешностей. Более точной является формула Эйлера с пересчетом (исправленный метод Эйлера):
, , .
Метод согласуется с разложением в ряд Тейлора до членов степени . Значит порядок точности данного метода . Обе приведенные формулы являются частными случаями семейства методов Рунге-Кутта, описываемых соотношениями , , .
При этом коэффициенты , , определяются из требования обеспечения наибольшей точности для функций заданного класса. Самым известным из одношаговых методов является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, обладающий высокой устойчивостью:
, , , , . Порядок точности данного метода . В частном случае, когда функция зависит только от , метод Рунге-Кутта переходит в формулу Симпсона для вычисления интеграла. Процесс решения уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка можно представить геометрически следующим образом. В точке вычисляется тангенс угла наклона , используя его, передвигаемся на полшага в точку и вычисляем тангенс угла наклона в этой точке. Используя новый тангенс угла наклона, опять идем из на полшага в точку и снова вычисляем тангенс угла наклона. Затем из точки делаем полный шаг, и в точке вычисляем четвертое значение тангенса наклона. После этого усредняем все четыре значения тангенса угла наклона с весовыми коэффициентами , , , , и беря это среднее значение тангенса угла наклона, делаем окончательно шаг от точки в точку . В методах Рунге-Кутта не используется информация о предыдущих значениях функции и её производных, а для продвижения на один шаг приходится вычислять значения в нескольких промежуточных точках. Кроме этого, отсутствует эффективный контроль точности получаемых результатов. Поэтому наряду с методами Рунге-Кутта применяются методы типа прогноза и коррекции. Это многошаговые методы, в которых используются старые значения , , , … и , , , … Формулы прогноза получаются при замене функции каким-либо интерполяционным полиномом, проходящим через несколько найденных ранее точек, т.е. на интервале производится экстраполирование . Общий вид формул прогноза: . Простейшим примером формулы прогноза может служить . Формулы коррекции получаются при интерполировании функции на интервале . При этом вычисление значения производится при . В общем виде формулы коррекции записываются следующим образом . Простейшая формула коррекции имеет вид . Значение может уточняться в формуле прогноза несколько раз, пока не будет достигнута необходимая точность. Среди методов прогноза и коррекции наиболее известен метод Адамаса-Башфорта , , и метод Милна , . Неудобным свойством методов прогноза и коррекции является то, что с их помощью нельзя начать решение, имея только одну точку, определяемую начальными условиями. На начальном участке приходится обращаться к методу Рунге-Кутта.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |