Тема 5. Экономическая модель определения оптимального размера заказа для пополнения запаса (модель EOQ). Формула Харриса-Уилсона

Классическая модель EOQ. Два варианта расчета затрат на хранение.

В основе экономической модели определения оптимального размера заказа лежит концепция минимизации суммарных издержек, связанных с осуществлением поставки (C_Σ).

В суммарные издержки (C_Σ) наиболее часто включают 2 оставляющие:

- затраты на выполнение заказа С _З (представляют собой постоянные расходы, связанные с размещением заказа у поставщиков и в некоторых случаях его транспортировку);

- затраты на хранение запаса на складе С _Х (отражают затраты на содержание и обработку запаса на складе, включают в себя процент на инвестированный капитал, стоимость хранения, содержания и ухода).

Зависимость различных видов затрат от размера партии заказа (q) показана на графике ниже – см. рис. 1.

Рис. 1. зависимость затрат от размера заказа

На рисунке:

- суммарные затраты на выполнение заказа; (1)

- затраты на хранение партии на складе; (2)

где С_п – цена единицы продукции, хранимой на складе;

f – доля от цены С _п, приходящейся на затраты по хранению;

q – величина заказа на пополнение запаса.

- затраты на выполнение 1 заказа; (3)

где А – потребность в продукте в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, год …)

С _о – затраты на выполнение одного заказа, руб.;

q – величина заказа на пополнение запаса.

Оптимальный размер заказа q₀, как видно из графика (рис. 1), достигается в точке минимума суммарных затрат, связанных с заказом (C_Σ).

Для того чтобы найти формулу для расчета q₀, необходимо найти первую производную от функции C_Σ по qи приравнять ее к 0.

Зная значения составляющих функции суммарных затрат (формулы 2 и 3), можно представить выражение (1) в виде:

(4)

Возьмем первую производную от выражения (4) и приравняем ее нулю и получим так называемую формулу Уилсона (Харриса-Уилсона) для расчета оптимальной партии заказа на пополнение запаса:

(5)

Помимо самого размера заказа в модели EOQ определяют и ряд дополнительных параметров:

1. Количество поставок:

; (6)

2. Продолжительность цикла поставки (времени между поставками):

. (7)

Если речь идет о количестве рабочих дней в году, то Д = Д _р=260 дней, если о количестве недель, то Д _р=52 недели; в общем случае Д =365 дней.

3. Минимальные общие затраты :

(8)

Параметр f для оценки затрат на содержание запасов на складах как % от стоимости поставляемой продукции определяется в разных источниках по-разному – от 9 до 50%.

Расчет затрат на хранение через площадь:

Практика аренды складских помещений, а также расчеты затрат на хранение на складах ряда фирм, говорят о том, что как правило учитывается не средний размер партии, а площадь (или объем) склада, которая требуется для всей поступившей партии. Таким образом затраты на хранение могут быть выражены формулой:

, (9)

где a – затраты на хранение продукции в единицу времени с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб./м^2.ед. времени (руб./м^3. ед. времени);

k – коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы продукции, м²/шт. (м³/шт.).

θ – коэффициент, учитывающий неодновременность поступления различных видов продукции на склад, (примем θ= 1).

С учетом выражения (9) формула Уилсона может быть преобразована следующим образом:

. (10)

Величина минимальных затрат в этом случае рассчитывается по формуле:

. (11)

Модель EOQ с учетом скидок. Оптовые и дифференциальные скидки.

Оптовые скидки (рис. 2). Применение оптовых скидок означает, что цена единицы продукции C_nj зависит от объема закупаемой партии Q_j, при этом соблюдается правило, чем больше Q_j, тем меньше цена С_nj. Уменьшение цены представляется, как правило, в виде дискретной зависимости. Например, при величине заказа Q_j ≤ 100 ед. цена единицы товара С_по = 400 руб.; при величине заказа Q от 100 до 500 ед. цена единицы товара С_п1 = 350 руб.; наконец, при Q больше 500 ед. цена С_n2 = 300 руб. Следовательно, заказывая 300 ед. продукции затраты на приобретение составят С_к = 300х350 = 105 тыс. руб., а при заказе 600 ед. затраты С_к = 180 тыс. руб.

Рис.2. Изменение общей стоимости партии заказа при оптовой скидке

Дифференциальные скидки (рис. 3). При дифференциальных скидках скидка для каждой партии товара учитывается раздельно в каждом ценовом диапазоне. Дифференциальные скидки устанавливаются следующим образом:

определяются границы размера заказа - диапазон;

для каждого диапазона устанавливается соответствующая цена аналогично оптовым скидкам;

рассчитывается разница между ценовыми диапазонами для конкретного объема заказа;

определяется средняя цена единицы продукции в ценовых диапазонах.

Рис. 3. Изменение общей стоимости партии заказа
при дифференциальной скидке

Если размер заказа колеблется от 1 до Q₁, например до 100 ед., то цена единицы изделия составляет С_nо (допустим С_по = 400 руб.); при размере заказа от Q₁ + 1 до Q₂ (от 101 до 500 ед.) цена единицы продукции снижается до C_n1 (С_n1= 350 руб. как при оптовой скидке) и т.д. Но при дифференциальной скидке общие затраты при закупке партии в 300 ед. составят:

С_к= 400·100 + 350(300-101)=109,65 тыс. руб.

а средняя цена единицы продукции:

= С_к/Q = 109,65/300 = 365,50 руб./ед.

Результирующая кривая общих издержек в случае расчета при оптовых скидках будет носить прерывный и непересекающийся характер (рис. 2). В случае же расчета при дифференцированной (накопительной) скидке минимум средних годовых издержек не будет находиться в одной из точек излома кривой, т.к. результирующая кривая общих издержек непрерывна (рис. 3).

Для определения оптимальной партии поставки EOQ с учетом оптовых скидок воспользуемся уравнениями:

(12)

(13)

Алгоритм расчета оптимального размера заказа при оптовых скидках:

Рассчитывается оптимальный размер заказа для каждой цены (без скидки и со скидками) по формуле (13).

Если размер заказа, рассчитанный для конкретный цены, удовлетворяет ограничению на объем партии, при которой действует данная цена, то рассчитываются минимальные суммарные затраты по формуле (12).

Если оптимальный размер заказа выходит за границы партии, при которой предоставляется скидка, тогда рассчитываются суммарные затраты для значения партии на границах групп (по формуле (12)).

Оптимальная партия поставки в условиях скидки – это партия, которой соответствует минимум суммарных затрат на управление запасами.

Задача 2. Рассчитаем оптимальную партию при оптовых скидках для следующих исходных данных: А=2000 ед., С_о = 800 руб., ƒ = 0,2, цена продукции см. табл. 2. Результаты расчетов EOQ для различных цен С_nj оформить в виде табл. 2.

Дифференциальные скидки. Алгоритм определения абсолютного оптимального значения партии поставки включает следующие этапы.

По рекуррентной формуле определяется общая стоимость (накопленная) Q_j единиц продукции:

R_j = R_j-1 + С_nj(q_j – q_j-1), (14)

где R_j = общая стоимость (накопленная) Q_j единиц продукции;

С_nj – цена ед-цы продукции в j-ом ценовом диапазоне (j=1 – ценовой диапазон без скидки; j=2 – ценовой диапазон с первой скидкой и т.д.);

q_j, q_j-1 – верхняя граница текущего и предыдущего j-го ценового диапазона;

Начальные условия для формулы (3): R_o=0 при Q_o=0

Например, R₁ с учетом первой скидки: R₁ = 0 + C_n1Q_j=1

С учетом второй скидки: R₂ = R₁ + C_n2(Q_j=2 – Q_j=1) = С_n1Q_j=1 + C_n2(Q_j=2 – Q_j=1)

С учетом третьей скидки: R₃ = R₂ + C_n3(Q_j=3 – Q_j=2) и т.д.

Рассчитывается средняя цена единицы продукции:

. (15)

Определяется оптимальная партия заказа Q_oj при j-ой скидке:

Формула для расчета EOQ с учетом дифференциальной скидки запишется в виде:

(16)

где Q_j – количество единиц продукции; С_о – затраты на выполнение одного заказа; ƒ – коэффициент, отражающий затраты на хранение; А – годовой объем потребления, ед.

Проверяется физическая возможность реализации оптимальной партии заказа Q_oj с учетом границ скидок.

q_j < Q_j ≤ q _j+1. (17)

Рассчитываем минимальные общие затраты для физически выполнимых значений Q_oj

. (18)

Принимаем, что наименьшее из минимальных значений С_∑min соответствует оптимальному варианту, определяем другие показатели заказа: число поставок N_o, периодичность поставок Т_о.

Поиск по сайту: