Разновидности групп

Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, а еще чаще — абелевой. Почти всё сказанное выше о моноидах переносится на группы.

Подмножество Н G называется под­группой в G, если e H; H H и . Подгруппа собственная, если

Приведём несколько примеров групп.

1) В полной линейной группе G (R) рассмотрим подмножество S (R) матриц с определителем 1:

S (R) = { }.

E . .

S (R) подгруппа в ; она носит название специальной линейной группы степени п над R. Ее называют еще и унимодулярной группой.

2) Используя рациональные числа вместо вещественных, мы придем к полной линейной группе степени n над Q и к ее подгруппе S (Q). В свою очередь S (Q) cодержит подгруп­пу S (Z) целочисленных матриц с оп­ределителем 1. S (Z) – также является группой. Частично упорядоченное множе­ство рассмотренных подгрупп группы G (R) изобража­ется диаграммой.

3) Положив в примерах 1) и 2) n =1, мы придем, во-первых, к мультипли­кативным группам

вещественных и рациональных чисел. Эти группы бесконечны. Так как в (Z, ∙, 1) обратимыми элемен­тами являются только 1 и -1, то = {± 1). Далее, S (R) = S (Q) = S (Z) = 1. Но уже при п = 2 группа S (Z) бесконечна: ей принадлежат, например, все матрицы

Бесконечные аддитивные группы:

Циклические группы.

Пусть G — мультиплика­тивная группа (т. е. с операцией умножения), а — ее фиксированный элемент. Если любой элемент g записывается в виде для некоторого n Z, то говорят, что — циклическая группа с об­разующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа опре­деляется в аддитивном случае: . Это, конечно, не означает, что все элементы а^п или па попарно различны. Условимся в обозначении и убедимся в справедливости следую­щего утверждения.

Теорема 1: Каковы бы ни были m, n ,

(соответственно

Доказательство: При неотрицательных m, n. Если

.

При имеем

(или ) .

Аналогично рассматривается случай

Равенство (а^т)^п=а^тп вытекает из предыдущего и достаточно очевидно из определения степеней.

Простейшим примером циклической группы слу­жит аддитивная группа целых чисел (Z,+, 0), по­рожденная обычной единицей 1 или 1. Множество {1,—1} является по умножению циклической груп­пой порядка 2.

Пусть снова G — произвольная группа, а — неко­торый ее элемент. Имеются две возможности: 1) Все степени элемента а различны,.т. е. . В этом случае говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок. 2) Имеются совпадения а^т = а^п при . Если, например, т > п, то т. е. существуют положительные степени элемента а , равные единичному элементу. Пусть q— наи­меньший положительный показатель, для которого = е. Тогда говорят, что а — элемент конечного по­рядка q. В конечной группе G (Card G < ∞) все эле­менты, разумеется, будут конечного порядка.

Поиск по сайту: