АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Действие группы на множестве

Читайте также:
  1. II. БРОСОК В ДЕЙСТВИЕ
  2. II. МНОЖЕСТВЕННОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
  3. IV. — Действие призрака субъекта на другого субъекта.
  4. MS EXCEL. Использование электронного табличного процессора excel: построение графиков. Взаимодействие excel с другими приложениями windows.
  5. VI. Аннотация к рабочей программе средней группы
  6. VII. — Действие призрака на материю.
  7. XV. СВЕРХЗАДАЧА. СКВОЗНОЕ ДЕЙСТВИЕ
  8. Акустическое воздействие транспорта, проблемы ослабления шума
  9. Алгоритм хода анализа смеси катионов I группы
  10. Альным взаимодействием. Вот почему эту качественно новую ступень природного феномена следует выделить как социальный импринтинг.
  11. Бабий Яр и айнзатцгруппы
  12. Биологическое действие радиации.

Группа G действует (слева) на множестве X, если для любых элементов g и х X определен элемент gх X, причем g2(g1х) = (g2 g1)х и ех = х для всех х X, g1, g2 G. Множество

Gх = {gx | g G}

называется орбитой элемента х. Орбиты любых двух эле­ментов из X либо совпадают, либо не пересекаются, так что множе­ство X разбивается на непересекающиеся орбиты. Если орбита одна — все множество X, то говорят, что С действует транзитивно на X. Ина­че говоря, группа G действует транзитивно на множестве X, если для любых двух элементов х, х' из X найдется элемент g из G такой, что gх = х'.

Стабилизатором элемента х из X называется подгруппа

StG(x)= {g G | gх = х}.

Множеством неподвижных точек элемента g из G называется множество

Fiх(g) = {х X | gх = х}.

Мощности орбиты равна индексу ста­билизатора в группе G.

Пример:

Пусть К — фиксированный куб в трехмерном евклидовом про­странстве, G — группа всех движений этого пространства, сохраня­ющих ориентацию и переводящих К в К. В группе G имеется тож­дественное движение, вращения на 120° и 240° вокруг четырех осей, проходящих через противоположные вершины куба, вращения на 180° вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, и вращения на 90°, 180° и 270° вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней. Итак, мы нашли 24 элемента в группе G. По­кажем, что других элементов в G нет. Группа G действует транзитивно на множестве К0 вершин куба К, так как любые две вершины из К можно «соединить цепочкой соседних», а соседние можно перевести друг в друга подходящим вращением. Стабилизатор вершины x дол­жен оставлять на месте также наиболее удаленную от нее вершину х'. Поэтому он состоит из тождественного движения и вращений вокруг оси хх' на 120° и 240°. Следовательно, |G| = |К°| • | | = 8 • 3 = 24 и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G.

Группа G называется группой вращений куба. Докажем, что Вращения из G переставляют четыре самых длинных диагонали ку­ба. Возникает гомоморфизм: φ: G → . Ядро этого гомоморфизма равно {е}, так как только тождественное движение оставляет каждую диагональ куба на месте. Поэтому G изоморфна подгруппе группы . Сравнивая порядки этих групп, получаем, что G .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)