|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Действие группы на множествеГруппа G действует (слева) на множестве X, если для любых элементов g и х X определен элемент gх X, причем g2(g1х) = (g2 g1)х и ех = х для всех х X, g1, g2 G. Множество Gх = {gx | g G} называется орбитой элемента х. Орбиты любых двух элементов из X либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество X разбивается на непересекающиеся орбиты. Если орбита одна — все множество X, то говорят, что С действует транзитивно на X. Иначе говоря, группа G действует транзитивно на множестве X, если для любых двух элементов х, х' из X найдется элемент g из G такой, что gх = х'. Стабилизатором элемента х из X называется подгруппа StG(x)= {g G | gх = х}. Множеством неподвижных точек элемента g из G называется множество Fiх(g) = {х X | gх = х}. Мощности орбиты равна индексу стабилизатора в группе G. Пример: Пусть К — фиксированный куб в трехмерном евклидовом пространстве, G — группа всех движений этого пространства, сохраняющих ориентацию и переводящих К в К. В группе G имеется тождественное движение, вращения на 120° и 240° вокруг четырех осей, проходящих через противоположные вершины куба, вращения на 180° вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, и вращения на 90°, 180° и 270° вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней. Итак, мы нашли 24 элемента в группе G. Покажем, что других элементов в G нет. Группа G действует транзитивно на множестве К0 вершин куба К, так как любые две вершины из К можно «соединить цепочкой соседних», а соседние можно перевести друг в друга подходящим вращением. Стабилизатор вершины x должен оставлять на месте также наиболее удаленную от нее вершину х'. Поэтому он состоит из тождественного движения и вращений вокруг оси хх' на 120° и 240°. Следовательно, |G| = |К°| • | | = 8 • 3 = 24 и, значит, все указанные выше вращения составляют группу G. Группа G называется группой вращений куба. Докажем, что Вращения из G переставляют четыре самых длинных диагонали куба. Возникает гомоморфизм: φ: G → . Ядро этого гомоморфизма равно {е}, так как только тождественное движение оставляет каждую диагональ куба на месте. Поэтому G изоморфна подгруппе группы . Сравнивая порядки этих групп, получаем, что G .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.) |