Группа симметрий тетраэдра

Тетраэдр (рис. 1) имеет 4 оси симметрии l₁, l₂, l₃, l₄ 3-го порядка, прохо­дящие через его вершины 1, 2, 3, 4 и центры противоле­жащих граней. Вокруг каждой оси, кроме тождественного, возможны еще два вращения. Им соответствуют такие перестановки:

вокруг оси l₁

вокруг оси l₂

вокруг оси l₃

вокруг оси l₄

Кроме того, имеется 3 оси симметрии 2-го порядка, про­водящие через середины А, В, С, D, Е, F скрещиваю­щихся ребер. Поэтому имеется еще 3 (по числу пар скре­щивающихся ребер) нетождественных преобразования, которым соответствуют перестановки:

вокруг оси AB ,

вокруг оси CD ,

вокруг оси EF .

Итак, вместе с тождественным преобразованием полу­чаем 12 перестановок. При указанных преобразованиях тетраэдр самосовмещяется, поворачиваясь в пространстве; его точки при этом не изменяют своего положения отно­сительно друг друга. Совокупность выписанных 12 пере­становок замкнута относительно умножения, поскольку последовательное выполнение вращений тетраэдра снова будет вращением. Таким образом, получаем, группу, кото­рая называется группой вращений тетраэдра.

При других преобразованиях пространства, являю­щихся самосовмещениями тетраэдра, внутренние точки тетраэдра передвигаются относительно друг друга. А именно: тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каж­дая из которых проходит через одно из его ребер и сере­дину противолежащего ребра. Симметриям относительно этих плоскостей отвечают следующие транспозиции на множестве вершин тетраэдра:

Уже па основании этих данных можно утверждать, что группа всевозможных симметрий тетраэдра состоит из 24 преобразований. В самом деле, каждая симметрия, самосовмещая тетраэдр в целом, должна как-то перестав­лять его вершины, ребра и грани. В частности в данном случае симметрии можно харак­теризовать перестановками вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр имеет 4 вершины, его группа симметрий не мо­жет состоять больше чем из 24 преобразований. Иными словами, она либо совпадает с симметрической группой S₄, либо является ее подгруппой. Выписанные выше симмет­рии тетраэдра относительно плоскостей определяют все­возможные транспозиции на множестве его вершин. По­скольку эти транспозиции порождают симметрическую группу S₄, получаем требуемое. Таким образом, любая перестановка вершин тетраэдра определяется некоторой его симметрией. Однако этого нельзя сказать о произ­вольной перестановке ребер тетраэдра. Если условиться обозначать каждое ребро тетраэдра той же буквой, что и его середину, то, скажем, перестановки на множестве ребер

отвечают соответственно двум вращениям вокруг оси l₁, и вращению вокруг оси АB. Выписав перестановки на мно­жестве {А, В. С, D, Е, F} для всех преобразований сим­метрии, получим некоторую подгруппу симметрической группы S₆, состоящую из 24 перестановок. Группа пере­становок вершин тетраэдра и группа перестановок его ребер — разные группы перестановок, поскольку они дей­ствуют на разных множествах. Но за ними «видна» одна и та же группа — группа преобразований пространства, оставляющих тетраэдр на месте.

Группа симметрий куба. Симметрии куба, как и сим­метрии тетраэдра, делятся на два типа — самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки отно­сительно друг друга. Преобразования первого типа будем называть вращениями. Все вращения образуют группу, которая назы­вается группой вращений куба.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 2). Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу, — имеется 4 различных распо­ложения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0, π/2, π, Зπ/2. Таким образом, получаем 6×4 = 24 вращений куба. Укажем их в явном виде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка —это оси проходящие через центры противоположных граней. Вокруг каждой из этих осей имеется по три не­тождественных вращения, а именно вращения на углы π/2, π, 3π/2 . Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются ци­клически и согласовано. Напри­мер, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси

б) Осями симметрии третьего порядка являются диа­гонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1,7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вра­щения на углы 2π/3, 4π/3. Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1,2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. полу­чаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращения. Все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей. Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на мно­жестве диагоналей. Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диа­гоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестано­вок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причём разным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являю­щихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Группа симметрий пра­вильного многогранника состоит из 2l преобразований, где l — число его плоских углов. Это утверждение имеет место для всех правильных многогранников, его можно доказать в общем виде, не находя всех симметрий много­гранников.

Поиск по сайту: