ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Введение

В соответствии с учебным планом для специальностей 100100 и 210400 по

курсу “Информатика” студенты выполняют курсовую работу. Курсовая работа

включает в себя три раздела: составление программы на алгоритмическом языке

Pascal, составление программы на алгоритмическом языке Basic и реферативное

описание одной из прикладных или системных программ.

Курсовая работа нацелена на приобретение навыков работы с алгоритмическими языками и составление соответствующих программ с их использованием.

В данной курсовой работе приведены примеры решения СЛАУ, нелинейных уравнений и численного интегрирования с использованием алгоритмического языка QBasic.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Определенным интегралом функции f(x), взятом в интервале от a до b, называется предел, к которому стремиться интегральная сумма при стремлении всех промежутков к нулю

При приближенном вычислении определенного интеграла шаг интегрирования выбирается конечным: ,где Ii - элемент интегральной суммы. Заменяя подынтегральную функцию на

каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем

приближенные формулы для вычисления интеграла методами прямоугольников,

трапеций и Симпсона соответственно.

2.1 Метод трапеций

Методы численного интегрирования основаны на полиномиальной аппроксимации (интерполяции) подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которого зависит количество узлов, где необходимо вычислять функцию f(x). В методах численного интегрирования отрезок интегрирования разбивается, как правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как h=(b-a)/n и называется шагом интегрирования. Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

Способ получения формул для вычисления приближенного значения интеграла в методах численного интегрирования состоит в следующем. Интервал интегрирования [a b] разбивается на n элементарных отрезков. Точки разбиения называют узлами интегрирования, а расстояния между узлами – шагами интегрирования. В частном случае шаг интегрирования может быть постоянным . На каждом частичном отрезке интегрирования подынтегральная функция аппроксимируется интерполяционным полиномом. В этом случае вычисление частичных интегралов в формуле

не составляет труда.

Рассмотрим одну из таких формул для  (х):

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, представленная формула представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.).

Рис. 2.1 Иллюстрация метода трапеций

Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в более простом методе - методе прямоугольников.

Приведя в формуле подобные члены, окончательно получим

Полученную формулу называют формулой трапеций. Формулой трапеций часто пользуются инженеры для практических вычислений.

Исходные данные:

Поиск по сайту: