Описание метода

Метод Гаусса является одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений. Этот метод еще называют методом последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим базовый вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

ПРЯМОЙ ХОД состоит из n - 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a₁₁ (0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины qi₁ = ai₁/a₁₁ (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q₂₁, q₃₁, …, q_n1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a2n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾,

a₃₂⁽¹⁾x₂ + a₃₃⁽¹⁾x₃ + … + a_3n⁽¹⁾x_n = b₃⁽¹⁾,

........

a_n2⁽¹⁾x₂ + a_n3⁽¹⁾x₃ + … + a_nn⁽¹⁾x_n = b_n⁽¹⁾.

в которой a_ij⁽¹⁾ и b_ij⁽¹⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽¹⁾ = a_ij - q_i1a_1j, b_i⁽¹⁾ = b_i - q_i1b₁.

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₂ из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n. Пусть a₂₂⁽¹⁾ ¹ 0, где a₂₂⁽¹⁾ – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

q_i2 = a_i2⁽¹⁾ / a₂₂⁽¹⁾ (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q₃₂, q₄₂, …, q_n2. В результате получим систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a₁n_xn = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a_2n⁽¹⁾ = b₂⁽¹⁾,

a₃₃⁽²⁾x₃ + … + a_3n⁽²⁾x_n = b₃⁽²⁾,

..................

. a_n3⁽²⁾x₃ + … + a_nn⁽²⁾x_n = b_n⁽²⁾.

Здесь коэффициенты a_ij⁽²⁾ и b_ij⁽²⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽²⁾ = a_ij⁽¹⁾ – q_i2a_2j⁽¹⁾, b_i⁽²⁾ = _bi⁽¹⁾ – q_i2b₂⁽¹⁾.

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной r-й шаг.

r-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент r-го шага a_rr^(r–1) отличен от нуля, вычислим множители r-го шага

q_ir = a_ir^(r–1) / a_rr^(r–1) (i = r + 1, …, n)

и вычтем последовательно из (r + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы r-e уравнение, умноженное соответственно на q_r+1,r, q_r+2,r, …, q_nr.

После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁,

a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a_2n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾,

a₃₃⁽²⁾x₃ + … + a_3n⁽²⁾x_n = b₃⁽²⁾,

....................................

a_nn^(n–1)x_n = b_n^(n–1).

матрица A(n-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

ОБРАТНЫЙ ХОД. Из последнего уравнения системы находим x_n. Подставляя найденное значение x_n в предпоследнее уравнение, получим x_n–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x_n–1, x_n–2, …, x₁.

Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

x_n = b_n(n–1) / a_nn(n–1),

x_r = (b_n(r–1) – a_r,r+1_(r–1)x_r+1 – … – a_rn(r–1)x_n) / a_r-1r-1, (r = n –1, …, 1).

Вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы a_rr^(r–1). Поэтому если один из главных элементов оказывается равным нулю (или близким к нулю), то алгоритм не может быть реализован, необходимо принимать специальные меры.

Поиск по сайту: