АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегрирование

Читайте также:
  1. Аналитическое и численное интегрирование
  2. Аналитическое и численное интегрирование.
  3. Вложенные процедуры и интегрирование по частям
  4. Интегрирование знаний, навыков и умений в обучении студентов сценарному мастерству
  5. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
  6. Интегрирование по частям.
  7. Интегрирование способом подстановки
  8. Тема «Интегрирование».
  9. Численное интегрирование
  10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Квадратурные формулы Гаусса, определение параметров квадратурных формул, используя ортогональные полиномы. Свойства, погрешность.

Квадратурные формулы Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности) получают из формул Ньютона-Котесса посредством оптимизации распределения узлов.

В общем случае формулы для приближенного вычисления определенного интеграла

( - весовая функция) получаются заменой подынтегральной функции интерполяционным полиномом с последующим аналитическим интегрированием для вычисления квадратурных коэффициентов

где - узлы квадратурной формулы, а коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции и могут быть предварительно вычислены для каждого распределения узлов.

 

В формулах Ньютона-Котесса выбирается эквидистантное распределение узлов. Оценка погрешности интегрирования

Из формулы следует, что формула Ньютона-Котесса позволяет точно интегрировать полиномы степени

Для кв.формул Гаусса узлы выбираются в корнях ортогональных полиномов. Оценка погрешности

где - используемый ортогональный полином с такой нормировкой, что коэффициент при старшей степени равен 1

т.е. формула Гаусса позволяет точно интегрировать полиномы степени

Обычно

Построение рабочих кв.формул Гаусса основано

▪ на предположении, что известно как строить формулы Ньютона-Котесса

▪ на двух леммах

Если узлы квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени , то

где , - произвольный полином, степени не выше

Соотношение можно использовать как определение ортогонального полинома. Весовая функция определяет его тип и распределение корней на

 

Пусть нули ортогонального полинома являются узлами квадратурной формулы, точной для полиномов степени (формулы Ньютона-Котесса). Тогда эта формула точна для полиномов степени

Погрешность интегрирования полиномов степени есть

(ортогональность)

(нуль полинома)

Трудность при построении кв.формул Гаусса заключается в нахождении корней ортогональных полиномов

Достоинства по сравнению с кв.ф-лами Ньютона-Котесса

▪ Точны для полиномов , а не

▪ Все квадратурные коэффициенты положительны

▪ Можно вычислять несобственные интегралы

Наиболее употребительные ортогональные полиномы, используемые для построения квадратурных формул

1. - полиномы Лежандра

2. - полиномы Чебышева I и II рода

3. - многочлены Эрмита


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)