Интегрирование

Квадратурные формулы Гаусса, определение параметров квадратурных формул, используя ортогональные полиномы. Свойства, погрешность.

Квадратурные формулы Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности) получают из формул Ньютона-Котесса посредством оптимизации распределения узлов.

В общем случае формулы для приближенного вычисления определенного интеграла

( - весовая функция) получаются заменой подынтегральной функции интерполяционным полиномом с последующим аналитическим интегрированием для вычисления квадратурных коэффициентов

где - узлы квадратурной формулы, а коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции и могут быть предварительно вычислены для каждого распределения узлов.

В формулах Ньютона-Котесса выбирается эквидистантное распределение узлов. Оценка погрешности интегрирования

Из формулы следует, что формула Ньютона-Котесса позволяет точно интегрировать полиномы степени

Для кв.формул Гаусса узлы выбираются в корнях ортогональных полиномов. Оценка погрешности

где - используемый ортогональный полином с такой нормировкой, что коэффициент при старшей степени равен 1

т.е. формула Гаусса позволяет точно интегрировать полиномы степени

Обычно

Построение рабочих кв.формул Гаусса основано

▪ на предположении, что известно как строить формулы Ньютона-Котесса

▪ на двух леммах

■ Если узлы квадратурной формулы, точной для всех многочленов степени , то

где , - произвольный полином, степени не выше

Соотношение можно использовать как определение ортогонального полинома. Весовая функция определяет его тип и распределение корней на

■ Пусть нули ортогонального полинома являются узлами квадратурной формулы, точной для полиномов степени (формулы Ньютона-Котесса). Тогда эта формула точна для полиномов степени

Погрешность интегрирования полиномов степени есть

(ортогональность)

(нуль полинома)

Трудность при построении кв.формул Гаусса заключается в нахождении корней ортогональных полиномов

Достоинства по сравнению с кв.ф-лами Ньютона-Котесса

▪ Точны для полиномов , а не

▪ Все квадратурные коэффициенты положительны

▪ Можно вычислять несобственные интегралы

Наиболее употребительные ортогональные полиномы, используемые для построения квадратурных формул

1. - полиномы Лежандра

2. - полиномы Чебышева I и II рода

3. - многочлены Эрмита

Поиск по сайту: