Задача Коши для ОДУ

Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ. Сходимость одношаговых методов.

Одношаговые методы характеризуется тем, задача Коши на интервале

решается последовательным применением одной и той же (шаговой) процедуры на подынтервалах , причем для каждого нового подынтервала используется только одно (последнее) из ранее найденных значений.

Наиболее часто используемым одношаговым методом является метод Рунге-Кутта, основанный на построении формулы приближенного интегрирования для вычисления приращения искомой функции на одном шаге

где

Если аналогична кв.ф-ле Ньютона-Котесса, то - есть к-во узлов, и точность приближенного интегрирования должна расти при увеличении .

В отличие от стандартных кв.ф-л, в подынтегральная функция не может быть вычислена непосредственно.

Введем три набора параметров

Для построения правила интегрирования вводятся параметризованные функции

подбирают параметры так, чтобы в сумме можно было заменить

и рассматривать как квадратурную сумму

Подбор параметров выполняют так, чтобы локальная погрешность вычисления по правилу была минимальной для заданного к-ва членов суммы

т.е. чтобы выполнялось равенство

для возможно более высокого , которое называют порядком метода

Обычно такая процедура выбора приводит к недоопределенным системам уравнений и позволяет некоторые параметры задать произвольно. Таким образом получают параметрическое семейство формул одного порядка.

Простейшими формулами Р-К являются

▪ формула Эйлера – метод первого порядка

с локальной погрешностью

▪ метод второго порядка с параметрами определяемыми из сисстемы уравнений

Выбирая произвольно, например, получим следующее шаговое правило

Наиболее употребителны методы четвертого порядка.

Поиск по сайту: