Зарождение математики

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии ^^ начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к нач. 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах;

эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н. э. состояние египетской М. того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, понятной из примера

египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представление дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби 2 /3. Удвоение и раздвоение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле

Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа пи=3. иногда же значительно более точному

Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской М. уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков

См. также Папирусы.

Вавилон. Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилоне, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математич. тексты охватывают период от начала 2-го тыс. до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греч. М. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской М., дальнейшие тексты, несмотря на наличие нек-рых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилоняне времён династии Хаммурапи получили ещё от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип со знаками для 1 и 60, а также 10 (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Напр.:

Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. В более позднее время появляется и особый знак для обозначения отсутствия в данном числе промежуточных разрядов. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению (такой приём встречается иногда и в египетских текстах). В более поздних текстах вычисление обратных чисел, отличных от 2^a, З^b, 5^g, т. е. не выражающихся конечной шестидесятеричной дробью, иногда доводится до восьмого шестидесятеричного знака; возможно, что при этом была обнаружена периодичность таких дробей;

напр. в случае ¹/7. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, кубов и др. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, к-рые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степеней.

Задачи на квадратные уравнения возникли, вероятно, путём обращения чисто практич. геометрич. задач, к-рое во многих случаях свидетельствует о существенном развитии отвлечённой математич. мысли. Такова, напр., задача на определение стороны прямоугольника по его площади и периметру. Впрочем, эта задача не приводилась к трёхчленному квадратному уравнению, а решалась, по-видимому, с помощью преобразования, к-рое мы бы записали (x+y)²=(x- y) ² +4xy, что приводит почти сразу к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Другая задача, связанная с т. н. теоремой Пифагора, известной в Вавилоне с древнейших времён, на определение катетов по данным гипотенузе и площади, представлялась трёхчленным уравнением с единственным положительным корнем. Задачи подбираются так, чтобы корни были всегда целые положительные и по большей части одни и те же. Это показывает, что сохранившиеся глиняные таблички — учебные упражнения; преподавание было, по-видимому, устным. Но вавилоняне знали и приёмы приближённого вычисления квадратного корня, напр. длины диагонали квадрата с данной стороной. Таким образом, алгебраич. компонента вавилонской М. была значительной и достигла высокого уровня. Наряду с этим вавилоняне умели суммировать арифметич. прогрессии, по крайней мере простейшие конечные геометрич. прогрессии и даже знали правило суммирования последовательных квадратных чисел, начиная с 1.

Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраич. методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистич. эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются нек-рые правильные многоугольники, вписанные в круг.

См. также Клинописные математические тексты.

2. Период элементарной математики.

Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных.приёмов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематич. развития её основных понятий и Предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилоне. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематич. учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием М. Ещё в М. древнего мира на материале изучения тригонометрич. функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, напр., представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + °°, и тригонометрич. функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Ф. Виета). Греч. натурфилософы и математики начиная с 7—6 вв. и вплоть до 3 в. до н. э. подходят к идее бесконечности и затем к приёмам анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после попыток целого ряда средневековых учёных возобновляется лишь в эпоху

Возрождения в кон. 16 в. Таким образом,; весь период до 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М.

Начало рассматриваемого периода развития М. (греческая, эллинистическая и римская М.) относится к эпохе рабовладельч. общества, вторая же половина —- к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Зап. Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греч. и эллинистич. М. в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехнич. сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезич. работах и более практич. тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона М.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской М. оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к М. со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.

Древняя Греция. Развитие М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже с 7—6 вв. до н. э. М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математич. сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами). Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греч. государств,, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к необходимости отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.

Первоначально теоретич. М. развивалась в рамках натурфилософских систем, причём ранее всего в греч. поселениях на побережье Малой Азии (Иония), средиземноморских островах и на Аппенинском полуострове. Связь с более ранними восточными цивилизациями несомненна, хотя в деталях прослежена быть не может. Сами греки считали себя в области арифметики учениками финикийцев, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли, начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса Милетского (Иония) и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич. прогрессии [в частности, 1+3+5+...4-(2n-1)=n ², изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек (“пифагоровых чисел”, т. е. троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a²+b²=c²). Возможно, что эти знания восходят к Вавилону. В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6—5 вв. до н. э., также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского, к-рых приписывается первый систематич. учебник геометрии. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э.— разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания.

Принципиально новым шагом вперёд явилось возникновение в натурфилософских школах G—5 вв. до н. э. идеи бесконечности, в различных формах получившей применения в М. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший первым вариантом неделимых метода, одного из исходных пунктов исчисления бесконечно малых. Однако логич. трудности, присущие понятиям бесконечности н нашедшие выражение в апориях Зенона Элейского (5 в. до н. э.), привели к заключению, что результаты, полученные с помощью метода неделимых, нельзя считать строго доказанными. Стандартным приёмом измерения различных площадей п объёмов, не поддающихся определению элементарными средствами, стал исчерпывания метод, состоящий в приближении искомой величины сходящимися к ней снизу и сверху последовательностями известных величин. Так, площадь круга аппроксимировалась последовательностями вписанных и описанных правильных многоугольников с неограниченно возрастающим числом неограниченно уменьшающихся сторон. Возможно, что толчок в этом направлении сообщили первые попытки решить задачу квадратуры круга, вписывая в него правильные многоугольники, получающиеся из вписанного треугольника или квадрата с помощью удвоения сторон: для каждого такого многоугольника можно построить равновеликий квадрат с помощью циркуля и линейки. Рассматривая круг как многоугольник с бесконечным числом сторон философ Антифонт (5 в. до н. э.) сделал вывод, что можно построить с помощью тех же средств п квадрат, равновеликий кругу. Некорректность такого умозаключения была вскоре установлена.

Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского, разработавшего общую теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объёме пирамиды, удовлетворявшее возросшим требованиям к строгости математич. выводов. По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания, представляющего собой, по существу, раннюю форму теории пределов. В стороне от главного течения М. в 4 в. до н. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архнта Тарептского — полководца и автора одного из решений задачи об удвоении куба.

Эллинистическая п римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь в обстановке объединения различных мировых культур, больших строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллйнистич. и римском мире, Александрия с её “музеем”, являвшимся первым научно-псследоватольским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

Сложные гидротехнич. сооружения (напр., архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка точных астрономич. измерений и вычислений (Юлианское приближение к длине года, равное 365¹/4 дней), наконец, развитие механики и оптики — всё это поставило перед М. множество новых задач. 3 в. до н. э. явился веком плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития М. вширь с глубиной теоретич. мысли. В частности, возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств

где р — длина окружности с диаметром d. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть “нестрогая” М., было позднее надолго забыто.

В своих “Началах” Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. “Начала” Евклида). Вместе с тем в “Началах” же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Наконец, “Начала” содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволившую в геометрич. форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В стиле этой же “геометрической алгебры” Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. Из геометрич. работ, не вошедших в “Начала”, наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание Аполлонием Пергским законченной теории конич. сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. В ряде случаев вычисления Архимеда равносильны применению интегральных сумм Дарбу и отысканию их пределов; наряду с интеграционными приёмами у него имеются и зачатки дифференциальных методов, применённые при построении касательной к носящей его имя спирали. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствования математич. аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в.— 1-я пол. 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звёзд были отвергнуты и на долгие века утвердилась геоцентрич. система конечной вселенной, подробно изложенная в “Альмагесте” Птолемея (1—2 вв.). В М. зачатки анализа бесконечно малых, содержащиеся в эвристич. приёмах Архимеда (сообщённых им в специальном сочинении “О методе” с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего серьёзного развития.

Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело влиятельных философов 4 в. до н. э. (как, напр., Аристотеля) к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в общей теории пропорций Евдокса и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых “Начал” лишь н чрезвычайно стеснительной форме “геометрической алгебры” отрезков, площадей и объёмов.

Значительные успехи в этом направлении можно отметить в “Метрике” Герона Александрийского (вероятно, 1 в.), известного своими работами по геодезии, составившими основу грандиозной практич. деятельности римских геодезистои. Это замечательное сочинение, являющееся первым дошедшим до нас самостоятельным изложением приёмов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, т. н. формулу Герона (известную, впрочем, ещё Архимеду)

для площади треугольника (под знаком корня произведение четырёх отрезков — выражение, геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается лишь в “Арифметике” Диофанта Александрийского (вероятно, 3 в.), посвящённой в основном решению уравнений. Здесь появляются первые известные нам начатки алгебраич. символики, формулируется правило перенесения членов из одной части уравнения в Другую, производится умножение обеих частей уравнений на одно и то же выражение, даются общие приёмы решения квадратных уравнений, решаются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределённые уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраич. выражений употребляет правило для умножения “отнимаемых” чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность гео-метрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до н. э.) первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич. тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и Птодемеем. Птолемею же принадлежит инициатива систематич. употребления широт и долгот для обозначения географич. мест, что явилось, по-видимому, первой формой употребления системы координат.

В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (3 в.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта,;

включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.

Китай. Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам обнаруживает уже “Математика в девяти книгах”, составленная по более ранним источникам во 2—1 вв. до н. э. В этом сочинении, положившем начало прогрессу М. в Китае вплоть до 14 в., описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач решается так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (3 в.) и более полно Цзинь Цзюшао (13 в.) дают изложенное на призерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии может служить результат Цзу Чунчжи (2-я пол. 5 в.), к-рый, вычисляя площади нек-рых вписанных в круг и описанных многоугольников, показал, что отношение я длины окружности к диаметру лежит в пределах"

Как правило, впрочем, в задачах вычислительной геометрии пользовались приближённым значением л, равным 3. Примечательно, что наряду с этим был сформулирован т. н. принцип Кавальери, применённый к сравнению объёма тара диаметра d с объёмом тела, заключённого между поверхностями двух вписанных в куб d³ цилиндров со взаимно перпендикулярными осями. Ранее объём этого тела, равный (2/3)d, определил Архимед, вывод к-рого не сохранился. Вопрос о возможных связях между М. Др. Китая и Др. Греции, а также Вавилона остаётся открытым.

Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяотуна (7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математикой 13-14 вв. Цзинь Цзюшао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Шицзе.

Индия. Наиболее ранние сведения о М. в древней Индии встречаются в литературе 7—5 вв. до н. э., содержащей правила построения алтарей. Уже в это время здесь, как и в Др. Греции и ранее в Вавилоне, была известна и применялась теорема Пифагора. Расцвет индийской М. относится к 5—12 вв. (наиболее известны индийские математики Ариабхата I, Брахмагупта, Бхаскара II). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной позиционной системы счисления и систематич. употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся “Индии цифр, называемых теперь “арабскими”, не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение.

Брахмагупта дал общее правило решения квадратных уравнений (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Бхаскара указал на двузначность квадратного корня, занимался исследованием иррациональных выражений вида делал преобразования типа владел приёмами освобождения дроби от иррациональности в знаменателе, решал нек-рые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брахмагупта и Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределённого уравнения первой степени с двумя неизвестными, а также уравнений вида: ax ² +b=cy ² и ху=ах+bу+с. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 вв. учёные Ср. Азии, Бл. Востока, Сев. Африки и Пиренейского п-ова пользовались гл. обр. арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своем дворе в обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными по точности астрономич. наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.

В истории науки длительное время господствовало мнение, что роль “арабской культуры” в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира н Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и, в частности, математиков, живших на территории современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й пол. 9 в. Мухаммед бен Муса аль-Хорезми, работавший в багдадском “Доме мудрости”, своего рода академии, написал сочинение об “индийском счете”, оригинальный текст к-рого до сих пор не обнаружен, но к-рое известно по неполному латинскому переводу, а также по обработкам, сделанным на Пиренейском п-ове в 12 в. Это сочинение явилось основным источником распространения десятичной позиционной системы счисления на Востоке и затем в Европе. Тот же аль-Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин “алгебра” производят от начала названия сочинения аль-Хорезми “Аль-джебр”, по к-рому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Вскоре после аль-Хорезми впервые начинают систематически рассматриваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени. Среднеазиатский учёный Бируни (кон. 9 в.— 1-я пол. 10 в.) привёл задачу о нахождении стороны правильного девятиугольника к решению уравнения x³+l=3x и получил приближённое решение этого уравнения в виде шестидесятеричной дроби. Задача о построении правильного семиугольника была сведена к решению уравнения x^з+1=2x+x². Ибн аль-Хай-сам из Ирака (кон. 10 в.— нач. 11 в.) свёл одну из задач геометрич. оптики к решению уравнения четвёртой степени.

Омар Хайям (11—12 вв.) систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Омар Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как восходящие к греч. М. геометрические (при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Ср. Азии и Ел. Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятеричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятеричным делением углов в астрономии). На этой основе ими была создана и единая система обозначения шестидесятеричных целых и дробных чисел: запись

43; 0; 16; +8; 37

(знак + здесь отделяет целые разряды от дробных) обозначала число

43.602+0.60+16+8/60+37/60 ².

Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этой системой, написал сочинение о способах извлечения корней третьей, четвёртой и пятой степеней. Омар Хайям в недошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения корней с любым натуральным показателем; позднее их описал Насирэддин Туей (13 в.), сформулировавший словесно формулу бинома Ньютона для натуральных показателей и правило образования биномиальных коэффициентов

В связи с астрономия, и геодезич. работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани (кон. 9 в.— нач. 10 в.) ввёл в употребление тригонометрич. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрич. функций, он же выразил словесно алгебраич. зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10 с точностью до 1/60⁴ и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферич. треугольников. Насирэддин Туей достиг известного завершения разработки сферич. тригонометрии, систематически рассмотрев все шесть случаев решения сферич. треугольников; сам он впервые нашёл решение двух труднейших случаев (определение углов по

рем сторонам и сторон по трём углам). Насирэддин Туей перевёл на арабский зык и комментировал “Начала” Евклида; комментарии к “Началам” составил также Омар Хайям. Их занимает принципиальный вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Собственные их сочинения написаны с большим вниманием к изложению строгих доказательств теорем. Принципиальное значение име-т возникновение у Омар Хайяма и Насирэддина Туей ясной концепции действительного (положительного) числа. Напр., о произвольном отношении величин (соизмеримых или несоизмеримых) Насирэддин Туей писал: “каждое из тих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов”.

В заключение следует специально остановиться на достижениях сотрудника Улугбека аль-Каши (нач. 15 в.). Аль-Каши дал систематич. изложение арифметики десятичных дробей, к-рые справедливо считал более доступными, чем шестидесятеричные; при этом он подробно разработал приёмы своих предшественников. В “Трактате об окружности” (ок. 1427) аль-Каши, определяя периметры вписанного и описанного 3*2²⁸-угольников, нашёл л с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения кубич. уравнений, к-рый применил к столь же точному вычислению sin l°.

Западная Европа до 16 века. 12—15 вв. являются для зап.-европейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значительных новых математич. фактов, общий характер европейской математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и арабских математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои “Книгу об абаке” (1202) и “Практику геометрии” (1220), на высоком научном уровне излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретической научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [Фома Брадвардин (1-я пол. 14 в.) и Н. Орем (сер. 14 в.)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [Н. Шюке (кон. 15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. В Оксфордском и Парижском университетах [Р. Суайнсхед, Суайнскод (сер. 14 в.), Н. Орем и др.] развиваются первые элементы теории изменения текущих величин, как функций времени и их графич. представление; впервые объектом изучения становится неравномерное движение и вводятся понятия мгновенной скорости и ускорения. Одним из результатов является открытие основных свойств равномерноускоренного прямолинейного движения, однако вне связи с проблемой падения тяжёлых тел. В рассмотрение вводятся нек-рые неограниченно протяжённые площади конечной величины. Важным средством исследования служит при этом сходящаяся бесконечная геометрич. прогрессия. С другой стороны, замечательным открытием Н. Орема является точное доказательство расходимости гармонич. ряда, вновь открытое в 17 в. Эта теория, излагавшаяся во многих университетах Европы и книгах, оказала влияние на формирование М. и механики таких учёных 17 в., как Дж. Непер, Г. Галилей и др. вплоть до И. Ньютона. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрич. таблиц, вычисленных Региомонтаном (И. Мюллером) с точностью до седьмого знака. Значительно совершенствуется математпч. символика. Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в соч. “Цветок” (ок. 1225), в к-ром собраны предложенные ему и блестяще решённые им задачи, доказал неразрешимость уравнений x³+2x²+10x=20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей (вида)

Западная Европа в 16 веке. Этот век был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и Востоком. Так было и в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направлениях европейская наука ещё отстаёт от достижений, среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем 17 в. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо Н. Тартальей, ок. 1530) и четвёртой (Л. Феррари, 1545) степеней, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый -случай, в к-ром действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Дж. Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с введёнными, им комплексными числами; основные правила действий с комплексными числами вскоре систематически изложил Р. Бомбелли (1572). Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета — основателя настоящего алгебраич. буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначились лишь неизвестные). Из других достижений 16 в. следует указать разложение квадратных корней в непрерывную дробь (Р. Бомбелли, 1572), первое точное аналитич. выражение для л в виде бесконечного произведения (Ф. Виет, 1593), определение тригонометрич. функций для аргумента, изменяющегося до +оо (Ф. Виет, 1594). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 в., излагается А. Дюрером (1525). Ф. Виет применил алгебраич. методы к исследованию возможности гео-метрич. построений, являясь также тонким мастером в синтетич. решении задач на построение [он восстановил (1600), напр., утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных]. М. Штифель (1544) вновь открыл закон образования биномиальных коэффициентов, а С. Стевип разработал (1585) правило арифметич. действий с десятичными дробями.

Россия до 18 века. Математич. образование в России находилось в 9—13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост. и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 вв. в связи с укреплением Русского государства и экономич. ростом страны значительно выросли потребности общества в математич. знаниях. В кон. 16 в. и особенно в 17 в. появились многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в к-рых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).

В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите,—славянская нумерация, к-рая в русской математич. литературе встречается до нач. 18 в., но уже с кон. 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Наиболее древнее, известное нам математич. произведение относится к 1130 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологич. расчётам, к-рые показывают, что в то время на Руси умели решать, сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математич. части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметич. рукописи кон. 16—17 вв. содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметич. операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестнымпосредством правила ложного положения. Для целей практич. использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался т. н. дощаной счёт — прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметич. часть знаменитой “Арифметики” Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич. рукописях, в большинстве своём преследовавших также практич. цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.

Поиск по сайту: