История математики в 19 веке и в начале 20 века

Начало и середина 19 века. В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамики несжимаемой идеальной жидкости Пыла создана еще в 18 в. Д. Борпулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники. В нач. 19 в.— ото вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики, усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков нач. п сер. 19 в.— К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашёл (1826, опубл. в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее n-мерное обобщение (1834, опубл. в 1838), усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836, опубл. в 1838), получив, по существу, те результаты, к-рые были для общего n-мерното случая компактно формулированы позднее (1841) К. Якоби. В результате исследований но уравнениям математич. физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный. анализ (одной из основных формул к-рого, впрочем, являлась, по существу, и упомянутая формула Остроградского).

Несмотря на господствовавшее в естествознании нач. 19 в. механистич. убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает дальнейшее значительное развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитич. аппарат. В России применением теории вероятностей к приёмочному контролю и статистике занимаются М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский; П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованиям в этом направлении Б. Больцано, аналитически доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано — Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. Для полной строгости выводов Б. Больцано не доставало теории действительного числа; в его рукописях, опубликованных лишь в наше время, имеется незавершённый набросок такой теории. Однако небольшая брошюра Б. Больцано (1817) оставалась незамеченной около полустолетия, и реальным отправным пунктом перестройки анализа стали курсы О. Коши, к-рый в 1821 и 1823 опубликовал читанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему существования интеграла от непрерывной функции). Нек-рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений, уже известные О. Коши в это время, были опубликованы позднее. Н. И. Лобачевский (1834) и независимо П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия (восходящее, впрочем, к Л. Эйлеру, 1755). П. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов н минимуме! рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Н. И. Лобачевский (1834—35).

Выше уже отмечалась работа К. Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел, но она оставалась незамеченной. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Ж. Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством т. н. леммы Д'Алам-бора, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее и доказательству О. Коши (1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает тео-рия функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего но опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптич. функций была развита Н. Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмич. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой С). Коши). Этот в известном смысле слова “качественный” и геометрич..характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в сер. 19 в. у Б. Римана. Здесь оказывается, что естественным геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности является но плоскость комплексного переменного, а т. н. риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрич. идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебьппевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х гг. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраич. теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 в. разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848,1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметич. прогрессиях и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827), Ф. Миндингом и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась долгое время независимо от неевклидовой геометрии проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грассман создаёт афинную и метрич. геометрию n-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия, по существу, также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Риман создаёт (1854, опубл. в 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразии (см. Риманова геометрия). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразии.

Конец 19 века и начало 20 века. Лишь в нач. 70-х гг. 19 в. Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени “геометрий” пространств различного числа измерений идее изученияинвариантов той или иной группы преобразований. В это;ке время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879—84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теория бесконечных множеств, в разработке к-рой видную роль сыграл вначале также Р. Дедекинд. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математич. теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 “Оснований геометрии” Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математич. теории и приёмов конструктивного решения математич. задач средствами математич. логики. Эти исследования вырастают в большой самостоятельный отдел М.— математич. логику. Основы математич. логики создаются в 19 и. Дж. Булем, II. С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано и др. В нач. 20 в. в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).

Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству п силе методов и окончательности результатов, получают в кон. 19 в. и в нач. 20 в. все разделы М., начиная с самого старого из них — теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, Ф. Линдеман в 1882 — числа л, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит ii теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков. Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской науки в области теории чисел ещё более закрепляется в советское время. Продолжают развиваться классич. отделы алгебры. В частности, подробно исследуются различные возможности сведения решения уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида — т. н. проблема резольвент (Ф. Клейн, Д. Гильберт). В связи с запросами теории колебании (устойчивость, автоматич. управление) широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения корней уравнения на плоскости. Вопросы линейной алгебры, получающей всё более широкое применение в механике и физике, освещаются с совершенно ноной стороны, благодаря привлечению геометрич. идей теории гамерных векторных пространств. Однако центр тяжести теоретич. алгебраич. исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, Колец, решёток и т. д. Многие из этих отделов получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп — в кристаллографии (в работах Е. С. Фёдорова и А. Шёнфлиса), а позднее — в квантовой физике.

На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы к-той позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиком гл. обр. под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, становится дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематич. развитие в работах Э. Бельтрами, Г. Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных, более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрич. исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано прежде всего работами Т. Леви-Чивиты, Э. Картана и Г. Вейля.

В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических функций в кон. 19 в. лишается того исключительного положения ядра всего математич. Анализа, к-рое намечается для нее в нач. и сер. 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей её с другими отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (напр., задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Ф. Клейн и А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрич. теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт и др.

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М.— теория функций действительного переменного. Под этим несколько условным названием понимают по преимуществу исследование основных понятий анализа (напр., понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа (напр., разложения функций в тригонометрич. ряды) с достаточно общей точки зрения. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие “естественно” из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих определений (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке) и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях, когда в первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения к-рой они возникли (напр., создание такого процесса интегрирования, к-рый позволил бы восстановить с точностью до постоянной любую функцию, имеющую в каждой точке производную по этой производной). Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе (см. Метрическая теория функций).

Исследование функций действительного переменного велось, однако, и с другой, примыкающей к П. Л. Чебышеву, классич. точки зрения. Именно, было обнаружено, что более узкие классы функций, имеющие основной практич. интерес (классы функций, данное число раз дифференцируемых, или аналитич. функций), могут быть охарактеризованы тем, насколько быстро убывают с возрастанием п отклонения от функции наилучшим образом аппроксимирующих её многочленов степени п. Наиболее значительные результаты были получены в кон. 19 в. и в нач. 20 в. русскими и советскими математиками (см. Приближение функций). Разрабатывается также теория приближения функций многочленами в комплексной области.

Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич. физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме теории операторов) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви М. было произведено В. Вольтеррой в кон. 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематич. построение к-рой было начато тем же В. Вольтеррой и продолжено И. Фредгольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зрения центральное положение в функциональном анализе занимает теория бесконечномерных пространств (разработанная и наиболее, употребительной ныне форме С. Банахом) и операторов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, основная роль к-рого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитич. теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразии, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили свое начало “комбинаторные”, “гомологические” и “гомотопические” методы современной топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологич. пространств, в частности теории их размерности.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными ещё в кон. 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитич. теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, т. к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретич. Решение не имеет практич. ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитич. Теории: краевые задачи, к-рые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными. Наиболее надёжным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физич. Представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными гл. обр. в теорию уравнений математич. физики имело большое положительное значение в смысле накопления огромного конкретного материала, в то же время служит и признаком недостаточного развития общей теории краевых задач, к-рая позволила бы систематически изучать все теоретически возможные “корректные” краевые задачи. Существенный прогресс в этом направлении достигнут в работах советских математиков. Работы по отдельным типам уравнений математич. физики справедливо составляют значительную часть всей математич. продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математич. физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы теории вероятностей. Если п нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 в. ив нач. 20 в, теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам теории вероятностей п кон. 19 в. ив нач. 20 в. принадлежат русской школе (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М.Ляпунов). Они сосредоточиваются вокруг вопроса об условиях применимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В 20 в. происходит общий подъём интереса к теории вероятностей во всех странах. Создаются основы теории случайных процессов и даётся окончательная форма аксиоматич. изложения теории вероятностей, исходящая из усмотренных впервые Э. Борелем аналогий между понятием вероятности и понятием меры в теории функций действительного переменного.

Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в численной форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В кон. 19 в. и в нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества математич. таблиц.

Со 2-й пол. 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов истории М.

Поиск по сайту: