Построение математической модели

I этап построения модели заключается в определении (описании, идентификации) управляемых переменных. В данной задаче искомыми неизвестными величинами является количество полок каждого вида, которые будут произведены в текущем месяце. Таким образом, – количество полок А (шт./мес.); – количество полок В₁ (шт./мес.); – количество полок В₂ (шт./мес.).

II этап построения модели заключается в построении целевой функции, выражающей наиболее важный показатель функционирования рассматриваемой системы. В данном случае цель – это максимизация прибыли, получаемой от продажи полок всех видов в течение месяца. Поскольку в этой задаче прибыль может быть определена как разность между ценой (Ц₁, Ц₂, Ц₃) и себестоимостью (С₁, С₂, С₃), то целевая функция имеет вид

III этап построения модели заключается в задании системы ограничений, моделирующих недостаток ресурсов в соответствии с условиями задачи. В рассматриваемом случае все ограничения можно разделить на несколько типов.

Ограничения по фонду времени (с использованием трудоемкости работ)

Левая часть ограничений по фонду времени представляет собой время, затрачиваемое на производство полок в течение месяца в количестве , , штук. Правая часть ограничения – это фонд рабочего времени исполнителя работы (рабочего или автомата) за смену. Неравенство (2.2) описывает ограничение по фонду времени на выполнение столярных работ. Коэффициент 4 ч/шт. (Тр₁) – это время, затрачиваемое на столярные работы при производстве одной полки типа А (трудоемкость); 40 чел. (Р₁) – это количество столяров, участвующих в производстве; 8 – количество часов работы одного человека в течение смены; 1 см./дн. – количество смен в одном рабочем дне; 22 дн./мес. – количество рабочих дней в месяце (табл.2.1):

		(2.2)

Важным моментом проверки правильности составления ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой частей ограничения. В ограничении (2.2) левая и правая части измеряются в часах, потраченных на выпуск продукции в течение месяца.

Аналогично записывается ограничение (2.3) по фонду времени на упаковочные работы, в котором 14 чел. (Р₂) – это количество упаковщиков:

		(2.3)

Расчет числовых данных, которые непосредственно не заданы в условии задачи, производите непосредственно в ячейках экранной формы. Например, для ввода коэффициента при в левой части (2.3) в соответствующую ячейку надо ввести выражение =4/60, после чего в ячейке отобразится результат вычисления, то есть 0,066666667. Для ввода правой части ограничения (2.3) в соответствующую ячейку надо ввести выражение =14*8*1*22, при этом в ячейке отобразится число 2464. Этот способ позволяет четко представлять путь получения числовых данных в ячейках экранной формы, избегать ошибок при расчете параметров задачи, а также обеспечивает высокую точность расчетов.

Ограничения по фонду времени (с использованием производительности работ)

Неравенство (2.4) описывает ограничение по фонду времени на покрытие лаком полок типа А. Отличие ограничений, учитывающих данные о производительности работ, от ограничений, учитывающих данные о трудоемкости работ, состоит в том, что производительность необходимо преобразовать в трудоемкость. Трудоемкость является величиной, обратной производительности. Коэффициент () при в (2.4) – это количество часов, приходящихся на покрытие лаком одной полки типа А. При записи правой части ограничения учитываем, что автомат, выполняющий покрытие лаком, работает не полную смену (8 ч), а в течение сменного фонда времени 7 ч (ФВ₁). Это связано с необходимостью подготовки автомата к работе и обслуживанием его после окончания работы.

		(2.4)

Неравенство (2.5) описывает ограничение по фонду времени на резку стекла для полок типа А и В₂:

		(2.5)

Неравенство (2.6) описывает ограничение по фонду времени на производство комплектующих полок типа В₁ и В₂:

		(2.6)

Ограничения по запасу расходуемых в производстве материалов

(по запасу используемых для производства полок деталей)

Неравенство (2.7) описывает ограничение по запасу листов ДСП, поставляемых на комбинат ежемесячно. При этом следует учесть, что из листа ДСП надо выкраивать комплекты (верхнюю и нижнюю стороны полок, 2 боковые стороны) для производства полок. Поэтому при задании ограничения имеет смысл ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество комплектов для полок [правая часть (2.7)], которые можно получить из имеющегося запаса ДСП. Но поскольку листы ДСП можно раскраивать различными способами и получать при этом различное количество деталей и комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части (2.7) как и рассмотрим способ его численного определения позже. В левой части ограничения (2.7) задается количество комплектов (по одному на полку), необходимых на производство полок в течение месяца в объеме , :

		(2.7)

Аналогично ограничению по ДСП неравенство (2.8.) – это ограничение по запасу задних стенок из ДВП для полок В₁ и В₂, а неравенство (2.9) – ограничение по запасу стекол для полок А и В₂. В отличие от ДСП листы ДВП и листы стекла кроятся стандартным способом, и из каждого листа ДВП получается 14 (К₁) задних стенок полок, а из каждого листа стекла получается 10 (К₂) стекол. Ежемесячный запас листов ДВП и стекла составляет соответственно 230 (Z₂) и 260 (Z₃). При составлении левых частей ограничений (2.8) и (2.9) следует учесть, что на каждую полку В₁ и В₂ приходится по одной задней стенке, а на каждую полку А и В₂ – по 2 стекла:

		(2.8)

		(2.9)

Ограничения по емкости вспомогательных помещений и рынка

Неравенство (2.10) является ограничением по количеству полок А, которые может вместить сушилка. В правой части (2.10) представлено количество полок, которые могут быть просушены в течение месяца (в день может быть просушено 50 (V₁) полок):

		(2.10)

Неравенство (2.11) описывает ограничение по количеству полок всех видов, которые может вместить склад готовой продукции. При этом правая часть (2.11) учитывает, что общая емкость склада уменьшена на 100 (Ост) полок, которые остались не вывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в течение месяца каждый день будет освобождаться по 40 (N) мест для полок:

		(2.11)

Неравенство (2.12) описывает ограничение по примерной емкости рынка, равной 5300 (V₃) полкам всех видов:

(2.12)

Ограничения по гарантированному заказу

Неравенство (2.13) показывает, что необходимо произвести как минимум 50 (З) заказанных полок В₂, а возможно, и большее количество, но уже для свободной продажи:

(2.13)

Ограничения по соотношению объемов продаж различных товаров

Неравенство (2.14) показывает, что доля полок типов А и В₂ в общем объеме полок, производимых для свободной продажи, должна составлять не менее 60% (Д). К такому выводу приводят результаты маркетинговых исследований. Поскольку из всех полок В₂ в свободную продажу поступит лишь , то это учитывается при составлении ограничения (2.14), которое после алгебраических преобразований принимает вид (2.15).

(2.14)

(2.15)

Определение количества комплектов для полок типов В₁ и В₂

Рассмотрим подробно вопрос определения максимально возможного количества комплектов для полок В₁ и В₂, которое можно произвести из ежемесячного запаса ДСП. В зависимости от размеров листов ДСП ( мм ²) и габаритов полок ( мм ³) детали полок типов В₁ и В₂ можно выкроить различными способами. Рассмотрим три возможных варианта такого раскроя, представленные на рис.2.3 (затемненные участки – это неиспользованная площадь ДСП).

Согласно первому варианту раскроя, из одного листа ДСП для полок В₁ и В₂ можно выкроить 19 деталей верхней или нижней стенок, а также 9 деталей боковых стенок. По второму варианту раскроя получаем 12 деталей верхней или нижней стенок и 36 деталей боковых стенок. По третьему варианту раскроя получаем 16 деталей верхней или нижней стенок и 18 деталей боковых стенок. Обозначим количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: по первому варианту через (лист./мес.); по второму варианту – (лист./мес.); по третьему варианту – (лист./мес.). При производстве полок нам выгодно стремиться к такому раскрою листов ДСП, при котором из полученных деталей можно укомплектовать максимальное количество полок. Количество комплектов, получаемых из раскроенных деталей, было обозначено ранее через . Таким образом, важнейший показатель функционирования системы описывается целевой функцией

компл. / мес.

Количество всех раскроенных листов ДСП не должно превышать 400 (Z ₁), то есть ежемесячный запас их на складе:

лист. / мес.

При этом, поскольку в каждый комплект входит одна верхняя и одна нижняя стенки, количество нижних и верхних стенок, получаемых при раскрое всех листов ДСП [левая часть (2.16)], должно быть не меньше чем :

		(2.16)

Аналогичный смысл имеет ограничение (2.17), которое задает нижнюю границу количества боковых стенок полок:

(2.17)

После преобразования описанных неравенств получим модель задачи (2.18), позволяющую раскроить максимальное количество комплектов:

;

(2.18)

Таким образом, при решении задачи (2.18) симплекс-методом (например, с помощью табличного процессора Microsoft Excel) переменная непосредственно определяет значение ЦФ, а переменные , и влияют на изменение значения ЦФ косвенно, через ограничения. Решив задачу (2.18) для варианта 0, мы получим значение правой части ограничения (2.7) Y =3387 компл, после чего сможем решить исходную задачу, модель которой имеет вид:

(2.19)

Решив задачу (2.19), получаем

шт./мес., шт./мес., шт./мес., руб./мес.,

(2.20)

то есть в текущем месяце необходимо произвести 1080 полок типа А и 50 полок типа В₂, а производство полок типа В₁ нецелесообразно.

После реализации всей произведенной продукции комбинат получит прибыль в размере 100 200 рублей.

Рис.2.3. Возможные варианты раскроя листов ДСП

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое распределительная задача, общая распределительная задача?

2. Что такое математическое и линейное программирование?

3. Какова математическая формулировка задачи линейного программирования?

4. Что такое допустимое решение задачи линейного программирования?

5. Что такое оптимальное решение задачи линейного программирования?

6. Каковы основные этапы построения математической модели ЛП?

7. Каков экономический смысл и математический вид целевой функции в задаче о производстве полок?

8. Как можно классифицировать ограничения задачи о производстве полок по их экономическому смыслу?

9. Чем отличается построение ограничений, использующих данные о трудоемкости работ, от ограничений, использующих данные о производительности работ?

10. Объясните способ построения каждого конкретного ограничения задачи о производстве полок.

11. Каким образом решается задача оптимального раскроя листов ДСП?

12. Каким образом единицы измерения параметров задачи используются для выявления ошибок построения ограничений?

Поиск по сайту: