 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойства однородной системы
1. Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (тривиальное) решение.
2. Пусть
и 
- два решения однородной системы (1). Линейная комбинация этих решений 
, где 
, также является решением системы.
Более того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной системы (1) также является решением этой системы.
3. Если система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Определение. Совокупность решений 
однородной системы (1) называется фундаментальной системой решений, если
1) - линейно независимы,
2) любое решение системы 
представимо в виде линейной комбинации , т.е. 
не все равные нулю, такие, что 
.
Определение. Решение системы (1) вида 
, где 
- фундаментальная система решений; 
- произвольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (1) называют общимрешением однородной системы.
4. Теорема (о фундаментальной системе решений)
Если ранг 
матрицы 
однородной системы (1) меньше числа неизвестных 
, то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из 
решений.
Доказательство. Доказательство этой теоремы даёт способ отыскания фундаментальной системы решений.
Рассмотрим матрицу системы (1)
|
Как и прежде, не умоляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы . Тогда, по теореме о базисном миноре строки с номерами от 
до 
представимы в виде линейных комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими , нулевые. Следовательно, их можно отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной, но имеет уравнений. Запишем её в следующем виде:
|
Неизвестные 
назовём базисными, а остальные неизвестных 
- свободными.
Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные значения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным образом, поскольку 
, матрица системы (3), квадратная и её элементы образуют базисный минор (
).
Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:
; 
; 
; …; 
В каждом 
-ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на -ом месте. Всего таких наборов . Подставим поочерёдно эти наборы значений переменных 
в систему (3), решим её относительно и получим следующие решения:
; 
; …; 
Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (3), а значит и (1):
; 
; …; 
Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.
Проверим линейную независимость столбцов 
. Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов 
Минор порядка , образованный последними строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен , и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что и означает линейную независимость решений 
.
3) Возьмём произвольное решение однородной системы (1)
Рассмотрим одностолбцовую матрицу 
:
|
По свойствам однородных систем - решение системы (1). Выполнив все действия в правой части равенства (4), получим 
.
Кроме того, является решением системы (3), которая равносильна системе (1). Нулевому значению свободных неизвестных соответствует (единственное) нулевое решение системы (3). Значит, 
. Подставив это значение в равенство (4), получим 
, то есть произвольное решение однородной системы (1) является линейной комбинацией решений .
И так очевидно, что образуют фундаментальную систему решений.
Следствие. Однородная система (1), у которой число неизвестных совпадает с числом уравнений , имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы 
.
§5. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
|
.
|
,
где 
- нулевой столбец.
1. Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь с решением соответствующей однородной системы
1. Если является решением неоднородной системы, а - решением однородной системы, то 
- решение неоднородной системы линейных уравнений
|
и .
|
Тогда является решением неоднородной системы.
2. Если и 
-решения неоднородной системы, то столбец 
является решением соответствующей однородной системы. Доказывается аналогично свойству 1.
3. Любое решение 
неоднородной системы представимо в виде суммы 
, где столбец 
- частное решение неоднородной системы, а столбец - решение однородной системы, соответствующей системе (1).
|
фундаментальная система решений однородной системы (2), а - частное решение неоднородной системы. Тогда всё множество решений неоднородной системы представимо в виде
,
где - ранг матрицы системы; 
- произвольные постоянные. При этом выражение (3) называют общим решением системы.
Доказательство. По свойству 3 всякое решение неоднородной системы представимо в виде , а любое решение однородной системы в виде 
по теореме о фундаментальной системе решений.
Пример 1.. Решить однородную систему
Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы , совершая линейные преобразования над строчками
Очевидно, что 
, т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных и значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:
или 
.
Полагая, например, 
, получим систему
,
решая которую находим 
.
Т.е. получим ненулевое частное решение 
.
Полагая 
(
-любое действительное число) получим общее решение
.
Пример 3. Решить неоднородную систему
Решение. Обозначим через и 
соответственно основную и расширенную матрицы системы
Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для этого приведём расширенную матрицу и трапециевидной форме, совершая элементарные преобразования над строками
.
При этом матрица перейдёт в 
. Очевидно, что 
, т.е. ранги матриц и совпадают и меньше числа неизвестных. Значит система совместна и имеет бесчисленное множество решений.
Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной.
Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную систему с матрицей :
Пример 2.. Найти фундаментальную систему решений и общее решение данной однородной системы
.
Решение. Вычислим ранг матрицы этой системы, приведя её к трапециевидной форме
.
Очевидно, что . Данная система эквивалентна такой
.
Фундаментальную систему получим, если положить сначала 
а потом 
.
Для первого случая будем иметь
,
решая которую, находим 
Т.е..
.
Для второго случая получим систему
,
решая которую находим 
.
Итак, фундаментальная система решений имеет вид
.
Общее решение получаем, составляя линейную комбинацию фундаментальной системы:
.
Т.е. общее решение имеет вид
или в координатной форме
За базисный минор возьмём минор, стоящий в левом углу матрицы , т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными 
, 
и 
. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных 
и 
также, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.
Взяв 
из системы
получим 
.
Аналогично, взяв 
, получим 
.
То есть получим фундаментальную систему
.
Общее решение однородной системы имеет вид
, где 
и 
- произвольные числа.
Теперь найдём какое-либо решение неоднородной системы. Система, соответствующая матрице , имеет вид
.
и эквивалентна данной. Положим свободные переменные и равными нулю. Тогда 
, т.е. получили частное решение 
.
Общее решение системы имеет вид 
,т.е.
.
В координатной форме общее решение запишется так
,
где и - произвольные числа.
§ 6. Альтернатива Фредгольма для линейных систем
Рассмотрим линейные системы уравнений с неизвестными
|
и
|
В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:
и 
,
т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (1).
Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter - другой, один из двух).
Альтернативы Фредгольма. Для всяких систем и справедливо одно из двух утверждений:
1.Система имеет решение при любом 
тогда и только тогда, когда система имеет только тривиальное (нулевое) решение .
2.Система при некотором несовместна и тогда система имеет нетривиальное (ненулевое) решение.
Доказательство.
1. Пусть система (1), т.е. , имеет решение при любом (любом наборе 
). В этом случае 
, так как иначе при некотором 
оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как 
, то в этих условиях 
, то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.
2. Пусть теперь система при некотором несовместна. Следовательно 
, значит и 
, т.е. ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.
Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.
Пример 1. Дана система
.
Является ли она совместной при любых значениях 
и 
?
Решение. Имеем
.
Если же к матрице приписать справа столбец 
, то у расширенной матрицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли система
несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицательный.
В силу второй альтернативы система однородных уравнений
должна иметь нетривиальное решение. Действительно. Таким решением является например 
.
Пример2.Является ли система совместной при любых и ?
Решение. Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расширенной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем 2). Значит при любых и ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос положителен.
Пример3. Установить, какая из альтернатив имеет место для системы
.
Решение. Так как 
, то 
. Значит и ранг расширенной матрицы равен 2. Т.е. система совместна при любых и и имеет место первая альтернатива.
Пример4. Какая из альтернатив имеет место для системы
.
Решение. Так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то 
. При 
и 
ранг расширенной матрицы будет равен 2, т.е. система несовместна. Имеет место вторая альтернатива.
§ 7. Неравенства первой степени с двумя и тремя переменными. Системы неравенств
1. Линейное неравенство первой степени с двумя переменными
 |  | ||
Рассмотрим на плоскости 
прямую линию 
, проходящую через точку 
и параллельную направляющему вектору 
(рис.4.7.1). Очевидно, что векторы 
и 
коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.
.
Очевидно, что это есть ни что иное, как каноническоеуравнениепрямой , из которого следует: 
обозначим 
, 
, 
, тогда уравнение прямой имеет вид: 
.
|
. Введём в рассмотрение вектор 
. Очевидно, что 
, т.е. вектор 
является нормалью к прямой .
Рассмотрим теперь строгое неравенство 
Напомним, что решением любого неравенства с двумя переменными 
называется упорядоченная пара чисел 
, удовлетворяющая этому неравенству; решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Установим геометрический смысл неравенства (1). Для этого рассмотрим уравнение . На плоскости прямая , имеющая уравнение , разбивает плоскость на две полуплоскости I и II (рис.4.7.2).
Покажем, что в каждой из этих плоскостей трёхчлен 
имеем постоянный знак, т.е. в одной из них выполняется неравенство , а в другой 
(на самой прямой трёхчлен равен нулю).
Принимая во внимание, что 
, можем написать: 
где 
- точка, лежащая в полуплоскости I или II. Очевидно, что
.
Если предположить, что вектор нормали равен , то очевидно, что 
имеет противоположные знаки, если точка лежит в полуплоскости 
или 
.
 | |||
 | |||
Пример1. Решить неравенство 
.
Решение. Прежде всего нарисуем прямую , имеющую уравнение 
. Она разбивает плоскость на две полуплоскости и (рис.4.7.3). Возьмём точку 
- начало координат (не лежит в полуплоскости ) и подставим координаты этой точки в левую часть уравнения прямой . Получим
т.е. координаты точки удовлетворяют данному неравенству.
Замечание: Нестрогое неравенство 
имеет решение, состоящее из множества точек, лежащих правее и ниже прямой , к которому следует добавить точки, лежащие на прямой (рис.4.7.4).
2. Система линейных неравенств первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему неравенств:
|
Решением такой системы неравенств называется множество упорядоченных пар чисел , удовлетворяющих каждому из неравенств системы (2). Очевидно, что геометрически множество решений системы (2) состоит из всех точек плоскости , координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы.
Пример 2. Построить множество решений системы:
Решение. Строим прямые , 
, 
, 
. Множеством решений каждого неравенства системы является одна из полуплоскостей, на которые разбивает плоскость соответствующая прямая. Множеством решений системы является их общая часть, представляющая собою четырёхугольник 
, изображенный на рис.4.7.5. При этом точки, лежащие на сторонах четырехугольника, в это множество включаются.
* Крамер Г. (1704 – 1752) – швейцарский математик.
* Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик.
* Л. Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, А. Капелли (1855 – 1910) - итальянский
Поиск по сайту: