Варіант № 31

Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №3

Завдання 3.1.31. Показати, що функція задовольняє співвідношення і обчислити диференціал функції у точці М (1; -2)при .

Розв’язання. Використовуємо означення похідних другого порядку, а саме: , , обчислюємо спочатку частинні похідні першого порядку

;

.

Далі обчислюємо мішані частинні похідні другого порядку

Таким чином, дійсно

.

Повний диференціал функції двох змінних визначається за формулою . Для даної функції він має вигляд:

.

При отримаємо:

.

Завдання 3.2.31. Знайти екстремум функції

Розв’язання. Знайдемо спочатку критичні точки, тобто точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують (саме в цих точках може міститися екстремум функції)

; .

Розв’язуємо систему

і отримуємо координати критичні точки

.

Далі перевіряємо за допомогою достатньої умови існування екстремуму чи буде в точці екстремум. З цією метою обчислюємо похідні другого порядку

,

,

,

.

Складаємо визначник другого порядку з цих похідних в точці . В нашому випадку частинні похідні другого порядку виявляються сталими величинами і тому

.

Таким чином, в критичній точці функція має мінімум, тому що

Обчислимо мінімальне значення функції

.

З авдання 3.3.31. а) Знайти невизначений інтеграл

Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу заміни змінної для невизначеного інтеграла, а саме:

Таким чином,

;

б) знайти невизначений інтеграл

.

Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу інтегрування частинами.

Використовуючи зауваження до неї, тобто позначаючи через обернену тригонометричну функцію

Таким чином,

;

в) обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язання. В цьому прикладі підінтегральна функція є правильною раціональною функцією. Розкладемо знаменник дробу на добуток лінійного множника та неповного квадрата різниці

.

Далі розкладаємо підінтегральну функцію на два доданки з невизначеними поки що коефіцієнтами

(1)

Для визначення коефіцієнтів А, В, С праву частину рівності (1) зводимо до спільного знаменника і групуємо члени чисельника

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій і лівій частинах чисельників дробів, дістанемо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів :

Розв’язок цієї системи такий:

Таким чином, підінтегральна функція дорівнює

і

.

Кожний з інтегралів обчислюємо окремо.

1. тому, що підінтегральній функції в чисельнику міститься точна похідна знаменника.

2.

Таким чином,

;

г) обчислити невизначений інтеграл

^.

Розв’язання. В цьому інтегралі підінтегральна функція є ірраціональною і тому для перетворення цього інтеграла в інтеграл від раціональної функції зробимо таку заміну:

(де =Н.С.К. (2) = 2).

Таким чином,

.

;

;

д) обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язання. Підінтегральна функція є тригонометричною, а саме, раціональною від . Такі інтеграли беруться за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

:

Таким чином,

.

е) обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язання. Застосуємо підстановку , тоді отримаємо:

Таким чином,

.

Поиск по сайту: