Сходимость последовательностей

О последовательности, имеющей пределом конечное число говорят, что она сходится к a:

.

Если у последовательности нет конечного предела (исчислимого), она будет называться расходящейся.

Геометрический смысл.

Если , то в произвольную Ε окрестность точки a попадут все члены данной последовательности, за исключением последнего числа.
Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Теорема 1) О единственности предела:

Если последовательность сходится, то есть имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема 2)

Если последовательность a_n сходится к a: , то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

Теорема 3) Необходимое условие существование предела.

Если последовательность сходится, то есть имеет предел, то она ограничена.

Доказательство: подберем такое n>N, чтобы выполнялось:

∎

Теорема 4) Достаточное условие существования предела.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел..

Теорема 5)

Пусть и пусть выполняется условие x_n≤y_n при любых n, тогда a < b.

Теорема о трех последовательностях.

Если и для последовательностей x_n, y_n, z_n выполняется условие x_n≤y_n≤z_n, тогда для следует .

Свойства пределов.

Если {xn} и {yn} имеют пределы, то:

Поиск по сайту: