АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вычисление площадей плоских фигур. Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла: площадь S криволинейной

Читайте также:
  1. А6. (стр.2) ФИГУРЫ РЕЧИ
  2. Абсолютное изменение валового сбора под влиянием изменения структуры посевных площадей рассчитывается с помощью индексов
  3. Абсолютное изменение средней урожайности под влиянием изменения структуры посевных площадей рассчитывается с помощью индексов
  4. Большой фигурный вальс
  5. Введение в конфигурацию интерфейсов.
  6. Возвращение фигуры в форму
  7. Выбор и вычисление оценочных мультипликаторов.
  8. Выбор конфигурации и размеры конических колёс
  9. Вычисление длины дуги кривой
  10. Вычисление композиций точек удвоения
  11. Вычисление концентрации шлаков и отравляющих осколков.
  12. Вычисление координат вершин хода.

 

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла: площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f (x), осью абсцисс и прямыми линиями x=a и x=b, численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке :

.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b (a<b) и кривыми y=f1(x), y=f2(x), причем f1(x)<f2(x) (a<x<b), то ее площадь вычисляется по формуле:

, (25)

 

В частном случае, когда плоская фигура ограничена снизу осью OX, формула (25) упрощается:

 

, (26)

 

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис.5) и .

 

 

 

Рис.5

Решение. Найдем точки пересечения кривых: , следовательно . Отсюда , и по формуле (25) имеем

 

 

 

Работа переменной силы

Сравнивая формулу (4) с формулой (5) для определенного интеграла, приходим к выводу, что работа переменной силы f(x), действующей на материальную точку при перемещении ее из точки x=a в точку x=b, численно равна определенному интегралу от этой силы на отрезке :

, (27)

 

Пример 14. Найти величину работы, которую необходимо совершить для растяжения пружины от положения равновесия на величину l=0,1 м, если коэффициент упругости пружины k=200 Н/м.

Решение. В соответствии с законом Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу f(x)=kx.

Подставляя это выражение в (27), получим зависимость работы А приложенной силы от растяжения l пружины:

 

.

Подставив в эту формулу численные значения, окончательно получим:

 

.

 

Нахождение средних значений функций

Средним значением функции f(x) на конечном отрезке называется величина , определяемая соотношением:

, (28)

 

Пример 15. Найти среднее значение функции на отрезке .

Решение. В соответствии с формулой (28) имеем:

 

.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)