Вычисление композиций точек удвоения

[U₂]К_ОА =[226]К_ОА = [128]К_ОА + [64]К_ОА + [32]К_ОА + [2]К_ОА; заданной эллиптической кривой.

Вычисление композиции точек [128]К_ОА и [64]К_ОА;

[128]К_ОА + [64]К_ОА = [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂).

( [128] К_ОА = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (X₁₂₈ =206; Y₁₂₈ =39); [64]К_ОА = (X₆₄; Y₆₄) =

(X₆₄ =156; Y₆₄ =125) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [128]К_ОА и [64]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -86 * 50^-1 mod 293 = -86 * 50²⁹¹ mod 293 = -4300 mod 293 =

- 198 mod 293 = (293-198) mod 293 = 95 mod 293 → 95, т.е. к = 95.

- Вычисляются координаты точки [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂):

X₁₉₂ = (к² – X₆₄ – X₁₂₈) mod P = (95² – 156 – 206) mod 293 = 8663 mod 293 =

= 166 mod 293 → 166.

Y₁₉₂ = (к * (X₁₂₈ – X₁₉₂) – Y₁₂₈) mod P = (95 * (206 – 166) – 39) mod 293 =

= 3761 mod 293 = 245 mod 293 → 245.

Следовательно, [192]К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (166; 245), координаты точки [192]К_ОА определены как X₁₉₂ = 166; Y₁₉₂ = 245.

Вычисление композиции точек [192]К_ОА и [32]К_ОА;

[192]К_ОА + [32]К_ОА = [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄).

( [192] К_ОА = (X₁₉₂; Y₁₉₂) = (X₁₉₂ =166; Y₁₉₂ =245); [32]К_ОА = (X₃₂; Y₃₂) =

(X₃₂ =30; Y₃₂ =276) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [192]К_ОА и [32]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -31 * 136^-1 mod 293 = -31 * 136²⁹¹ mod 293 = - 31* 265 mod 293 =

= -8215 mod 293 = - 11 mod 293 = (293-11) mod 293 = 282 mod 293 → 282, т.е. к = 282.

- Вычисляются координаты точки [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄):

X₂₂₄ = (к² – X₃₂ – X₁₉₂) mod P = (282² – 30 – 166) mod 293 =

= 79524 -30 – 166 mod 293 = 79328 mod 293 = 218 mod 293 → 218.

Y₂₂₄ = (к * (X₃₂ – X₂₂₄) – Y₃₂) mod P = (282 * (30 – 218) – 276) mod 293 =

= - 53292 mod 293 = - 259 mod 293 = (293 – 259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [224]К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (218; 34), координаты точки [224]К_ОА определены как X₂₂₄ = 218; Y₂₂₄ = 34.

Вычисление композиции точек [224]К_ОА и [2]К_ОА;

[224]К_ОА + [2]К_ОА = [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆).

( [224] К_ОА = (X₂₂₄; Y₂₂₄) = (X₂₂₄ =218; Y₂₂₄ =34); [2]К_ОА = (X₂; Y₂) =

(X₂ =226; Y₂ =72) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [224]К_ОА и [2]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 38 * 8^-1 mod 293 = 38 * 8²⁹¹ mod 293 = 38* 110 mod 293 =

= 4180 mod 293 = 78 mod 293 → 78, т.е. к = 78.

- Вычисляются координаты точки [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆):

X₂₂₆ = (к² – X₂ – X₂₂₄) mod P = (78² – 226 – 218) mod 293 =

= 5640 mod 293 = 73 mod 293 → 73.

Y₂₂₆ = (к * (X₂ – X₂₂₆) – Y₂) mod P = (78 * (226 – 218) – 72) mod 293 =

= 552 mod 293 = 259 mod 293 = 259 mod 293 → 259.

Следовательно, [226]К_ОА = (X₂₂₆; Y₂₂₆) = (73; 259), координаты точки [226]К_ОА определены как X₂₂₆ = 73; Y₂₂₆ = 259.

Вычисление композиции точек [U₁]G и [U₂]К_ОА;

Q = [U₁]G и [U₂]К_ОА =[44]G + [226] К_ОА.

(X₄₄=82; Y₄₄=137) для G; (X₂₂₆ =73; Y₂₂₆=259) для К_ОА

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [44]G и [226]К_ОА заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= -122 * 9^-1 mod 293 = -122 * 9²⁹¹ mod 293 = - 228 mod 293 =

= 65 mod 293 → 65, т.е. к = 65.

- Вычисляются координаты точки Q = (X_Q; Y_Q):

X_Q = (к² – X₄₄ – X₂₂₆) mod P = (65² – 82 – 73) mod 293 =

= 4070 mod 293 = 261 mod 293 → 261.

Y_Q = (к * (X₄₄ – X_Q) – Y₄₄) mod P = (65 * (82 – 261) – 137) mod 293 =

= - 11772 mod 293 = - 52 mod 293 = (293-52) mod 293 = 241 mod 293→ 241.

Следовательно, Q = (X_Q; Y_Q) = (261; 241), координаты точки Q определены как X_Q = 261; Y_Q = 241.

Сравниваются вычисленные значения параметра «r», принятого в составе ЭЦП от абонента-отправителя и значения абсциссы точки «Q» → «X_Q», вычисленное абонентом получателем.

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 261, т.е. r = 261.

X_Q modP = 261 mod 293 → 261.

В силу равенства значений X_Q modP = 261 mod 293 → 261 и

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 261;

X_Q = 261 r = 261 вычисленный первый элемент ЭЦП «h_B(M)» сообщения «М» признается достоверным.

Аналогичные вычисления производятся для всех значений элементов функции хеширования принятого сообщения «М» и в случае их равенства принятому параметру «r» в составе ЭЦП сообщение «М» признается достоверным.

Литература.

1. Г.Б. Туманян. Элементы синтеза дискретных автоматов. М., 1999 г.

2. Математическая энциклопедия. Том 2. М., 1970 г.

3. Дж. Кларк, Дж. Кейн. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. М., 2006 г.

4.. В.К. Леонтьев. Теория кодирования. М., 2002 г.

5. В.Ф. Макаров. Теоретические основы передачи и защиты информации в системах теледоступа к вычислительным ресурсам. М., 1992 г.

6. Б.Я. Рябко, А.Н. Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., 2005 г.

7. Ю. В. Романец, П.А. Тимофееф, В.Ф. Шангин. Защита информации в компьютерных системах и сетях. М. 2010 г.

8. А.А. Болотов, С.Б. Гашков, А.Б. Фролов. Введение в эллиптическую криптографию. М., 2006 г.

9. Б. Шнайер. Прикладная криптография. М.,2003 г.

Поиск по сайту: