Действие абонента-отправителя (абонента «А») по формированию электронной цифровой подписи электронного сообщения «М»

Как и для случая формирования криптограмм открытого сообщения «М» считается, что параметры эллиптической кривой «а», «b» и модуль «Р» заданы. Для выполнения операции постановки электронной цифровой подписи и аутентификации принимаемых сообщений каждый участник электронного обмена на своем рабочем компьютере формируют секретные и открытые ключи. После чего абонент-отправитель с помощью своего закрытого (секретного) ключа формирует ЭЦП передаваемого электронного сообщения. Проверка подлинности (аутентификация) электронного сообщения осуществляется абонентом «В» с помощью открытого ключа абонента-отправителя «А».

Для формирования электронной цифровой подписи необходимо:

1. Изначально вычислить числовое значение функции хеширования h_В(M) передаваемого сообщения «М» (ГОСТ Р34.11-94). Для примера в качестве сообщения «М» задается слово «Криптон», функция хеширования слова «Криптон» имеет вид:

h_В(M) → { 52 48 52 48 50 42 46 46 40 56 48 48 50 54 46 42 52 56 56 52 50 50 50 50 44 52 48 48 54 50 46 42}.

2. Для составления криптограммы числовых значений функции хеширования h_В(M) абонент-отправитель задает случайным образом целое положительное число «К» при соблюдении следующих ограничений 1 < К < Р (для примера принимается значение К=347) и НОД (К; (Р-1)) = 1. Принимаются (для примера) следующие значения параметров эллиптической кривой:

Р =293; а = 8; b = 5

3. Вычисляется параметр N = [К]G = [347]G = (X_N; Y_N). N = [347]G = [347](18;11).

3.1. Вычисляется множество точек удвоения заданной эллиптической кривой.

Для вычисления N изначально необходимо вычислить все удвоения точки G до [256]G, т.к. число 256 является максимальным числом степени 2ⁿ в составе числа 347 (К = 347). Значение числа К =347 числам 2ⁿ можно отобразить как 347 = 256 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1, т.е. на первом этапе для вычисления параметра «К» необходимо вычислить следующие точки удвоения точки G: [2]G, [8]G, [16]G, [64]G, [256]G.

После вычисления множеств удвоений генераторной точки G необходимо значение их композиции. Если N = 347, то максимальный нижний предел по степени 2ⁿ = 2⁸, т.е. n = 8; 2⁸ ≤ 347; 256 ≤ 347. Следовательно:

N = [К]G = [347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G, т.е. композиция чисел, определяющих значение N = [347]G, будет включать в себя значение G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G. Указанные значения удвоений генераторной точки G были вычислены в разделе 3.1:

G(X₁; Y₁) = G(18;11); [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71);

[8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3); [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195); [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10).

Указанное множество необходимо дополнить значение точки [256]G для вычисления композиции, отображающей значение точки N = [347]G, т.е.

[347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G.

Вычисление координат точки [256]G заданной эллиптической кривой как результат удвоения точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10):

- вычисление значения углового коэффициента касательной в точке [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10):

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 26516 * 20^-1 mod 293 = 146 * 20²⁹¹ mod 293 = 146 * 44 mod 293 =

= 6424 mod 293 = 271 mod 293 → 271.

- вычисление координат точки [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆)

X₂₅₆ = (K² – 2X₁₂₈) mod P = (271² - 2*94) mod 293 = (73441 – 188) mod 293 = 3 mod 293 → 3;

Y₂₅₆ = (к * (X₁₂₈ – X₂₅₆) – Y₁₂₈) mod P = (271* (94 – 3) – 10) mod 293 =

= 24651 mod 293 = 39 mod 293 → 39.

Следовательно, [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆) = (3; 39), координаты точки [256]G определены как X₂₅₆ = 94; Y₂₅₆ = 10.

Вычисление композиций точек удвоения [256]G; [64]G; [16]G; [8]G; [2]G; G заданной эллиптической кривой.

Для вычисления параметра «N» (N = [К]G = [347]G = G + [2]G + [8]G + [16]G + [64]G + [256]G) при формировании ЭЦП абонент «А» выполняет ряд последовательных операций с полученным множеством точек удвоения генераторной точки G.

Вычисление композиции точек [256]G и [64]G; [256]G + [64]G = [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀). ( [256]G = (X₂₅₆; Y₂₅₆) = (X₂₅₆ =3; Y₂₅₆ =39); [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (X₆₄ =94; Y₆₄ =10) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [256]G и [64]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = 156 * 75^-1 mod 293 =

= 156 * 75²⁹¹ mod 293 = 156 * 168 mod 293 = 26208 mod 293 = 131 mod 293 → 131, т.е. к = 131.

- Вычисляются координаты точки [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀):

X₃₂₀ = (к² – X₆₄ – X₂₅₆) mod P = (131² – 195 – 39) mod 293 = (17161 – 195 – 39) mod 293 = 16927 mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₃₂₀ = (к * (X₂₅₆ – X₃₂₀) – Y₂₅₆) mod P = (131* (3 – 226) – 39) =

- 29252 mod 293 = -245 mod 293 = (293 – 245) mod 293 = 48 mod 293 → 48.

Следовательно, [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (226; 48), координаты точки [320]G определены как X₃₂₀ = 226; Y₃₂₀ = 48.

Вычисление композиции точек [320]G и [16]G; [320]G + [16]G = [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆). ( [320]G = (X₃₂₀; Y₃₂₀) = (X₃₂₀ =226; Y₃₂₀ =48); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (X₁₆ =28; Y₁₆ =237) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [320]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = - 189 * 198^-1 mod 293 =

= -189 * 198²⁹¹ mod 293 = -189 * 37 mod 293 = - 6993 mod 293 =

-254 mod 293 = (293-254) mod 293 = 39 mod 293 → 39, т.е. к = 39.

- Вычисляются координаты точки [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆):

X₃₃₆ = (к² – X₁₆ – X₃₂₀) mod P = (39² – 28 – 228) mod 293 = 1265 mod 293 =

93 mod 293 → 93.

Y₃₃₆ = (к * (X₃₂₀ – X₃₃₆) – Y₃₂₀) mod P = (39 * (226 – 93) – 48) mod 293 =

5139 mod 293 = 158 mod 293 → 158.

Следовательно, [336]G = (X₃₃₆; Y₃₃₆) = (93; 158), координаты точки [336]G определены как X₃₃₆ = 93; Y₃₃₆ = 158.

Вычисление композиции точек [336]G и [8]G;

[336]G + [8]G = [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄). ( [336]G = (X₃₃₆; Y₃₆) = (X₃₃₆ =93; Y₃₃₆ =158); [8]G = (X₈; Y₈) = (X₈ =84; Y₈ =254) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [336]G и [8]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 = - 96 * 9^-1 mod 293 =

= -96 * 9²⁹¹ mod 293 = -96 * 228 mod 293 = - 21888 mod 293 =

= -206 mod 293 = (293-206) mod 293 = 87 mod 293 → 87, т.е. к = 87.

- Вычисляются координаты точки [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄):

X₃₄₄ = (к² – X₈ – X₃₃₆) mod P = (87² – 84 – 93) mod 293 = 7392 mod 293 =

= 67 mod 293 → 67.

Y₃₄₄ = (к * (X₃₃₆ – X₃₄₄) – Y₃₃₆) mod P = (87 * (93 – 67) – 158) mod 293 =

= 2104 mod 293 = 53 mod 293 → 53.

Следовательно, [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (67; 53), координаты точки [344]G определены как X₃₄₄ = 67; Y₃₄₄ = 53.

Вычисление композиции точек [344]G и [2]G;

[344]G + [2]G = [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆).

( [344]G = (X₃₄₄; Y₃₄₄) = (X₃₄₄ =67; Y₃₄₄ =53); [2]G = (X₂; Y₂) = (X₂ =292;

Y₂ =276) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [344]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 223 * 225^-1 mod 293 = 223 * 225²⁹¹ mod 293 = 223 * 56 mod 293 =

= 12488 mod 293 = 182 mod 293 → 182, т.е. к = 182.

- Вычисляются координаты точки [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆):

X₃₄₆ = (к² – X₂ – X₃₄₄) mod P = (182² – 292 – 67) mod 293 = 32765 mod 293 =

= 242 mod 293 → 242.

Y₃₄₆ = (к * (X₃₄₄ – X₃₄₆) – Y₃₄₄) mod P = (182 * (67 – 242) – 53) mod 293 =

= -31903 mod 293 = - 259 mod 293 = (293-259) mod 293 = 34 mod 293 → 34.

Следовательно, [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) = (242; 34), координаты точки [346]G определены как X₃₄₆ = 242; Y₃₄₆ = 34.

Вычисление композиции точек [346]G и G;

[346]G + G = [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇).

( [346]G = (X₃₄₆; Y₃₄₆) = (X₃₄₆ =242; Y₃₄₆ =34); G = (X₁; Y₁) = (X₁ =18;

Y₁ =11) ).

- Вычисляется угловой коэффициент «к» прямой, проходящей через точки [346]G и G заданной эллиптической кривой:

к = mod P = mod 293 = mod 293 =

= 23 * 224^-1 mod 293 = 23 * 224²⁹¹ mod 293 = 23 * 276 mod 293 =

= 6348 mod 293 = 195 mod 293 → 195, т.е. к = 195.

- Вычисляются координаты точки [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇):

X₃₄₇ = (к² – X₁ – X₃₄₆) mod P = (195² – 18 – 242) mod 293 = 37765 mod 293 =

= 261 mod 293 → 261.

Y₃₄₇ = (к * (X₃₄₆ – X₃₄₇) – Y₃₄₆) mod P = (195 * (242 – 261) – 34) mod 293 =

= -3739 mod 293 = - 223 mod 293 = (293-223) mod 293 = 70 mod 293 → 70.

Следовательно, [347]G = (X₃₄₇; Y₃₄₇) = (261; 70), координаты точки [347]G определены как X₃₄₇ = 261; Y₃₄₇ = 70.

Вычисление значения параметра электронной цифровой подписи r = X_N mod P (если значение «r» оказывается равным нулю необходимо выбрать иное значение «к»).

В рассматриваемом примере X_N = X₃₄₇ = 261, следовательно,

r = X_N mod P = X₃₄₇ mod 293 = 261 mod 293 → 293, т.е. r = 261.

Вычисление параметра электронной цифровой подписи S_i.

S_i = (к * h_в(М) + r * К_ЗА) mod P. Для рассматриваемого примера:

S_i = (347 * h_в(М) + 261 * 236) mod 293.

Множества значений S_i являются криптографическими элементами функции хеширования h_в(М) подписываемого электронного сообщения «М». В соответствии с ГОСТ Р 34.11-94 число элементов функции хеширования сообщения «М» составляет 32 десятичных знака, следовательно и множество криптографических элементов функции хеширования также будет содержать 32 десятичных знака. Для сообщения «Криптон» функция хеширования h_в(М) определена как:

h_В(M) → { 52 48 52 48 50 42 46 46 40 56 48 48 50 54 46 42 52 56 56 52 50 50 50 50 44 52 48 48 54 50 46 42}.

Следовательно, криптографические значения отдельных элементов функции хеширования определяются как:

S₁ = (к * h₁(М) + r * К_ЗА) mod P = (347 * 52 + 261* 236) mod 293 =

= 79640 mod 293 = 237 mod 293 → 237.

Все последующие элементы криптограммы функции хеширования h_В(M) определяются аналогичным образом. В результате выполненных операций формируется криптограмма сообщения «М» → Криптон:

C_i = S_i = {237 21 237 21 129 283 206 206 175 160 21 21 129 52 206 283 237 160 160 237 129 129 129 129 98 237 21 21 52 129 206 283}.

В результате выполненных операций формируется электронная цифровая подпись, которая отображается парными значениями параметра «r» и элемента криптографического значения функции хеширования «S_i»:

ЭЦП → {r S_i} → {r S₁; r S₂; r S₃; … r S₃₂} = {261-237; 261-21; 261-237; 261-21;261-129; 261-283;261-206;261-206;261-175;261-160;261-21;261-21;261- 129;261-52;261-206;261-283;261-237;261-160;261-160;261-237;261- 129;261-129;261-129;261-129;261-98;261- 237;261-21;261-21;261-52;261- 129;261-206;261-283;}.

Электронное сообщение «М» совместно с ЭЦП – криптограммой функции хеширования и числового значения параметра «r» передаются абоненту-получателю (в рассматриваемом примере абоненту «В»).

Поиск по сайту: